Задача 3. Нелинейная регрессия

1. Найдите оценки параметров a и b в функции Кобба-Дугласа:

,

где Q – объем производства; L – трудовые ресурсы; K – капитал; Q ₀ = 51, L ₀ = 19, K ₀ = 16 – фиксированные значения этих переменных.

Значения Q при определенных трудовых ресурсах L и стоимости капитала K заданы в таблице (задать самостоятельно):

Например:

2. Прибыль P, получаемая фирмой, определяется формулой , где x – объем производства (т); k – цена одной тонны продукции (руб./т); c – издержки производства (руб.).

Параметры k и c задайте самостоятельно.

Найдите оценки параметров модели :

.

Используя полученную модель, найдите объем производства, обеспечивающий максимальную прибыль, и точку самоокупаемости, т.е. такое значение x, при котором прибыль равна нулю.

Выполнение работы:

Для выполнения лабораторной работы подготовьте исходную выборку данных для проведения интеллектуального анализа в системе STATISTICA (рис. 3.53).

Для работы с нелинейной регрессией на панели инструментов нажимаем на кнопку переключателя модулей STATISTICA Module Switcher (рис. 3.54).

В появившемся окне (рис. 3.55) выбираем модуль Nonlinear Estimation (Нелинейное оценивание), нажав кнопку Switch to (Переключиться в) или просто дважды щелкнув мышью по названию модуля Nonlinear Estimation.

На экране появится стартовая панель модуля Nonlinear Estimation (Нелинейное оценивание) (рис. 3.56). Выбираем User-specified regression (Регрессия, определяемая пользователем), в появившемся окне (рис. 3.57) нажимаем Function to be estimated and loss function (Оцениваемая функция и функция потерь) и вводим заданную функцию (рис. 3.58). Нажимаем ОК и возвращаемся в окно User-specified regression function (Регрессионная функция, определяемая пользователем) (рис. 3.59). Снова нажимаем ОК.

Рис. 3.53. Исходная выборка данных

Рис. 3.54. Переключатель модулей Module Switcher

Рис. 3.55. Окно Переключателя модулей Module Switcher

Рис. 3.56. Окно модуля Nonlinear Estimation

Рис. 3.57. Окно User-specified regression Function

Функция потерь по умолчанию определена как сумма квадратов разностей наблюдаемых и предсказанных значений, следовательно, оценки параметров вычисляются методом наименьших квадратов.

Рис. 3.58. Окно задания оцениваемой функции и функции потерь

Рис. 3.59. Окно User-specified regression Function

В окне Model Estimation (Оценка модели) нажимаем OK и получаем таблицу параметров оценивания (рис. 3.61). Снова нажимаем OK и получаем результаты процедуры оценивания (рис. 3.62): окончательное значение функции потерь (5376.1) и коэффициент детерминации (0.847).

Чтобы увидеть результаты оценивания параметров, нажимаем Parameter estimates (Оценки параметров) и получаем следующие значения (рис. 3.63).

Рис. 3.60. Окно Model Estimation

Рис. 3.61. Таблица параметров оценивания

Рис. 3.62. Результаты процедуры оценивания

Рис. 3.63. Результаты оценки параметров модели

Для выполнения следующего задания подготовьте исходную выборку данных для проведения интеллектуального анализа в системе STATISTICA.

Прибыль P, получаемая фирмой, определяется формулой P = kx – c, где x – объем производства (т), k – цена одной тонны продукции (руб./т), с – издержки производства (руб.)

Пусть k = 100 руб./т, а переменные x и c определены следующим образом (рис. 3.64):

Рис. 3.64. Таблица исходных данных

Необходимо определить оценки параметров модели P (x):

Для этого проводим следующие действия. В стартовой панели модуля Nonlinear Estimation (Нелинейное оценивание) (рис. 3.65) выбираем User-specified regression (Регрессия, определяемая пользователем), в появившемся окне (рис. 3.66) нажимаем Function to be estimated and loss function (Оцениваемая функция и функция потерь) и вводим заданную функцию (рис. 3.67). Нажимаем ОК и возвращаемся в окно User-specified regression function (Регрессионная функция, определяемая пользователем) (рис. 3.68). Снова нажимаем ОК.

Рис. 3.65. Окно модуля Nonlinear Estimation

Рис. 3.66. Окно User-specified regression Function

Рис. 3.67. Окно задания оцениваемой функции и функции потерь

Рис. 3.68. Окно User-specified regression Function

Чтобы увидеть значения параметров и стандартные ошибки, В окне Model Estimation (Оценка модели) нажимаем Parameters and standard errors (Значения параметров и стандартные ошибки) (рис. 3.69) и получаем результаты оценивания параметров модели (рис. 3.70): .

Рис. 3.69. Окно результатов

Рис. 3.70. Результаты оценки параметров модели

Вывод: из полученной модели видно, что максимальная прибыль достигается при x = 10, и она равна 780.

Точка самоокупаемости (такое значение x, при котором прибыль равна нулю):

P(x) = 80 x – 20 = 0

x = 20/80=0.25