Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный инте­грал приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл f(x) dx. Сделаем подстановку x = j(t), где j(t) – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx = j'(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Эта формула также называется формулой замены переменных в неопре­деленном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = j(х), тогда = f(t)dt, где t =j(х). Другими словами, форму­лу можно применять справа налево.

Пример. Найти

Замена Получаем:

.