Задача ДР-4. (Письм., № 1.26, стр. 39)

В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-ой шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А = {1-ый шар черный}, В = {2-ой шар белый}. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.

Поэтому

2. Найдем Р(В|А) по формуле (1.22). очевидно, что найдем Р(АВ): общее число исходов (появление двух шаров) n = 9∙8 = 72. событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому Следовательно,

Задача 5. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наугад последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой – синим, 3-ий – черным?

Решение. Введем следующие события: А₁- первым вытащили белый шар, А₂- вторым – синий, А₃- третьим – черный.

Тогда интересующее нас событие представится в виде А= А₁∙А₂∙А₃. По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁)∙ Р(А₂| А₁) ∙Р(А₃| А₁ А₂).

Но Р(А₁)=4/9; Р(А₂| А₁)= 3/8, так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃| А₁∙ А₂) = 2/7, так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, искомая вероятность равна

Задача 6. (Зарубин, № 3.18, стр. 110).

Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕМА».

Решение:

Пусть А₁, А₂, А₃ и А₄ – события, состоящие в последовательном извлечении букв «Т», «Е», «М», «А». Тогда соответствующие вероятности равны:

Так как эти события совместные, то согласно формуле умножения вероятностей (1.25) получим

Задача 7.

Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и 3-х цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

Решение. Пусть событие А-{вор набрал правильную букву}, событие В-{вор все 3 цифры набрал правильно }, событие С -{ шифр набран правильно}. Набор каждой буквы и каждой цифры – события равновероятные. Поэтому Р(А) = 1/33, Р(В) = (1/10)³. так как события независимы, искомая вероятность равна Р(С)=Р(А)∙Р(В) = 1/33∙(1/10) ³.

Задача 8.

Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (1.15) Р(А) = 1 – qⁿ.

По условию Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,

0,936 = 1 - q³, или q³ = 1 – 0,936 = 0,064.

Отсюда q = =0,4. Искомая вероятность р =1–q =1– 0,4 = 0,6.

Решение:

S_∆

P (A) = ——

S_кр.

a

AD = ― = R*Cos 30°

a = 2*R*Cos 30° = 2*R* ― = R

1 3

h = R + OD = R + R*Sin 30° = R + – R = – R

2 2

1 3 3

S_∆ = –– R* — R = ―― R²

2 2 4

3 R² 3

P (A) = —―— = ―― ≈ 0,41

4 ¶ R² 4 ¶

Задача 5.

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, во втором цехе – 95%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.

Решение:

P(H₁) = 0,4 P(A/H₁) = 0,9

P(H₂) = 0,6 P(A/H₂) = 0,95

P(A) = P(H₁)* P(A/H₁) + P(H₂)* P(A/H₂) = 0,4*0,9 + 0,6*0,95 = 0,93

Задача 6.

В предыдущем примере найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

P(H₂)* P(A/H₂) 0,6*0,95

P(H₂/A) = ———————― = ―――――――― = 0,61

∑ P(H_i)* P(A/H_i) 0,4*0,9 + 0,6*0,95

i=1,2