Метод главных компонент и линейные многообразия на практике: применение к Российской банковской системе

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

_________ / Шайдуров В. В

(подпись)

«___» ________2012 г.

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ И ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НА ПРАКТИКЕ: ПРИМЕНЕНИЕ К РОССИЙСКОЙ БАНКОВСКОЙ СИСТЕМЕ

Направление 010300.68 “Математика. Компьютерные науки”

Магистерская программа 010300.68.10 Компьютерные технологии в гуманитарных и социально-экономических науках

Научный руководитель

кандидат технических наук,

доцент ___________/ Л.И. Покидышева (подпись, дата)

Выпускник ____________/ К.Ю. Веретнова

(подпись, дата)

Красноярск 2012

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. М.: изд-во «Азь», 1992. 976 с.

2 Gorban A. N., Zinovyev A. Y. Principal Graphs and Manifolds, Chapter 2 in: Handbook of Research on Machine Learning Applications and Trends: Algorithms, Methods, and Techniques, Emilio Soria Olivas et al. (eds), IGI Global, Hershey, PA, USA. 2009. P. 28-59.

3 Gorban A. N., Zinovyev A. Y. Principal manifolds and graphs in practice: from molecular biology to dynamical systems // International Journal of Neural Systems. 2010. V. 20. №. 3. P. 219–232.

4 Рейтинги банков: рейтинговое интернет-агентство. 2012. URL: http://www.banki.ru (дата обращения 15.01.2012).

5 Центральный банк Российской Федерации: Интернет-ресурс. 2012. URL: http://www.cbr.ru (дата обращения 15.01.2012).

6 Pearson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space. Philosophical Magazine, 1901. 559-572 c.

7 Метод главных компонент: свободная энциклопедия. 2012. URL: http://ru.wikipedia.org (дата обращения 03.04.2012).

8 Jolliffe I.T. Principal Component Analysis, Springer: Springer Series in Statistics, 2nd ed., Springer, NY, 2002. P. 487 c.

9 Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: Справочное руководство. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 524 c.

10 Зиновьев, А.Ю. Визуализация многомерных данных / Зиновьев А.Ю. – Красноярск: издательство КГТУ, 2000. 168с.

11 MacQueen J. Some methods for classification and analysis of multivariate observations. In Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability. 1967. 281-297 c.

12 Россиев А.А. Итерационное моделирование неполных данных с помощью многообразий малой размерности: дис. … 12.00.00: защищена 31.05.00: утв. 19.10.00. Красноярск, 2000. 83 с.

13 Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: изд-во «Лань», 2005. 288 с.

14 Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С Методы оптимизации. М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 441 с.

15 Распределение Гиббса: свободная энциклопедия. 2012. URL: http://ru.wikipedia.org (дата обращения 03.04.2012).

16 Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing. Science. 1983. 671–680 c.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица 2 - Банки, участвующие в исследовании

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Список показателей, которые были выбраны для исследования системы банков:

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Фрагмент программы, реализующей процесс нормирования матрицы данных перед вычислением векторов главным компонент. В программе – матрица данных.

Функция вычисления выборочного среднего:

double average(double *a, int n)

{

double average = 0;

for (int i = 0; i < n; i++)

average = average + a[i];

average = average/n;

return average;

}

Функция вычисления выборочной дисперсии:

double dispersion(double *a, int n)

{

double avg1 = 0, avg2 = 0, dispersion;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

avg1 = avg1 + a[i];

avg2 = avg2 + a[i]*a[i];

}

avg1 = avg1/n;

avg1 = avg1*avg1;

avg2 = avg2/n;

dispersion = avg2 - avg1;

return dispersion;

}

Нормировка по столбцам:

for (j = 0; j < m; j++)

{

for (i = 0; i < n; i++)

c[i] = X[i][j];

tmp = average(c, n);

tmp1 = sqrt(dispersion(c, n));

for (i = 0; i < n; i++)

if (tmp1!= 0)

X[i][j] = (X[i][j] - tmp)/tmp1;

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Фрагмент программы, реализующей поиск векторов главных компонент. На вход подается нормированная матрица данных . Затем вычисляется ковариационная матрица , после чего находятся собственные вектора и собственные значения этой матрицы с помощью метода вращений Якоби. Найденные собственные вектора – вектора главных компонент.

Функция нахождения коэффициента ковариации:

double kfr (int n, double *a, double *b)

{

int i;

double sr1, sr2, sum1=0, sum2=0, pr1=0, d, kf;

//Находим среднее:

sr1 = average(a, n); //функция average(x,y) – функция из предыдущего фрагмента программы

sr2 = average(b, n);

sum1 = 0;

//Перемножаем центрированные компоненты:

for(i=0; i<n; ++i)

{

pr1=(a[i]-sr1)*(b[i]-sr2);

sum1=sum1+pr1;

}

d=sum1/n;

kf=d;

return kf;

}

Вспомогательная функция, для вычисления модуля числа:

double modul (double n)

{

if (n >= 0)

return n;

else

return (-1)*n;

}

Вспомогательная функция для вычисления функции sign(x):

double sign (double n)

{

if (n > 0)

return 1;

else

{

if (n == 0)

return 0;

else

return -1;

}

}

Вычисляем ковариационную матрицу:

double b1[n], b2[n];

double kf;

for(i = 0; i < m; i++)

{

for(j = 0; j < n; j++)

{

b1[j] = X[j][i];

b2[j] = X[j][i];

}

kf = kfr(n, b1, b2);

cov[i][i] = kf;

}

for(int t = 0; t < m; t++)

{

for(int k = t; k < m - 1; k++)

{

for(j = 0; j < n; j++)

{

b1[j] = X[j][t];

b2[j] = X[j][k+1];

}

kf=kfr(n, b1, b2);

cov[k+1][t] = kf;

cov[t][k+1] = kf;

}

}

/Переменные для нахождения собственных векторов:

int k, l;

double v[m][m], vt[m][m], vta[m][m], V[m][m], W[m][m], max, max1, q, eps, cos, sin;

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

if (i!= j)

V[i][j] = 0;

else V[i][j] = 1;

}

}

while (N!= 1551)

{

max = cov[1][0];

k = 1;

l = 0;

//Находим максимальный по модулю элемент

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

if(i!= j)

{

if (max < modul(cov[i][j]))

{

max = modul(cov[i][j]);

k = i;

l = j;

}

}

}

}

//Строим матрицу Vk:

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

if(i == j)

v[i][j] = 1;

else

v[i][j] = 0;

}

}

Строим ротацию:

q = sqrt(1-((4*cov[k][l]*cov[k][l])/(pow((cov[k][k] - cov[l][l]),2)+pow(2*cov[k][l],2))));

if (cov[k][k] == cov[l][l])

eps = sign(cov[k][l]);

else

eps = sign((cov[k][k] - cov[l][l])/(2*cov[k][l]));

cos = sqrt((1+q)/2);

sin = eps*sqrt((1-q)/2);

v[k][k] = cos;

v[l][l] = cos;

v[k][l] = (-1)*sin;

v[l][k] = sin;

//Транспонирование Vk:

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

vt[i][j] = v[j][i];

}

}

// Умножение матриц:

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

tmp=0;

for(z = 0; z < m; z++)

{

tmp += vt[i][z]*cov[z][j];

}

vta[i][j] = tmp;

}

}

//Матрица а(k+1):

for (i = 0; i < m; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

tmp = 0;

for (z = 0; z < m; z++)

{

tmp += vta[i][z]*v[z][j];

}

cov[i][j] = tmp;

}

}

//Матрица собственных векторов:

for(i = 0; i < m; i++)

{

for(j = 0; j < m; j++)

{

tmp = 0;

for(z = 0; z < m; z++)

{

tmp += V[i][z]*v[z][j];

}

W[i][j] = tmp;

}

}

for (i = 0; i < m; i++)

{

for(j = 0; j < m; j++)

{

V[i][j] = W[i][j];

}

}

N = N + 1;

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Таблица 3 – Вектора главных компонент

	1 вектор	2 вектор	3 вектор	4 вектор	5 вектор
	0,521165	0,158703	0,056407	0,042407	0,037734
	0,190796	0,082305	0,011961	0,062177	0,023413
	0,141881	-0,22729	0,127359	-0,04789	0,103607
	0,032417	-0,05782	-0,13615	-0,04348	-0,23789
	0,071608	-0,0526	-0,08836	0,413741	-0,11122
	0,191252	0,062681	0,009049	-0,03139	0,065775
	0,025518	-0,07522	-0,40292	-0,0883	0,066441
	0,178406	0,145881	0,041045	-0,00104	0,016567
	0,076106	-0,10606	-0,07241	-0,26433	-0,53008
	0,16719	-0,10679	-0,14071	-0,08431	0,077998
	0,1573	-0,16279	0,187974	-0,04482	0,067023
	0,089818	-0,22767	-0,23762	-0,17153	0,132565
	0,083915	-0,01949	-0,2384	-0,02171	0,028438
	0,173813	-0,0222	0,024218	-0,03606	0,121529
	0,07668	-0,29552	0,227963	-0,0024	0,056646
	0,01785	-0,0443	-0,2438	0,500131	-0,15916
	0,006603	0,022293	0,059501	0,060799	-0,13842
	0,192474	0,026251	0,047681	-0,00228	0,035251
	0,173542	0,136942	-0,00819	-0,07887	-0,07797
	0,081264	-0,28984	0,226175	-0,01268	0,016984
	0,187732	0,098061	-0,00151	0,034775	-0,04459
	0,185829	0,106263	-0,05354	-0,03501	0,044983
	0,159003	-0,08521	0,09443	0,050272	-0,09315
	0,174664	0,051089	-0,0511	0,029511	0,089232
	0,03362	-0,06922	0,086628	0,352901	-0,12333
	0,16295	-0,17506	0,127149	0,023177	0,063982
	0,158127	-0,02779	-0,18903	-0,0984	0,195741
	0,136351	-0,22531	-0,08089	0,162156	0,00685
	0,139701	-0,17022	-0,13538	0,228626	-0,01426
	0,168443	0,148029	0,039922	-0,01604	-0,09782
	0,173526	0,157053	0,02776	0,028959	0,036025
	0,032332	-0,08281	-0,37348	-0,1501	0,23828
	0,104499	-0,1911	-0,22048	0,276477	-0,03174
	0,074439	-0,10895	-0,07533	-0,26661	-0,52729
	0,097852	-0,27737	0,185558	-0,02606	0,065114
	0,068799	-0,2337	-0,19933	-0,17168	0,071041
	-0,00137	-0,02282	-0,00842	0,076689	-0,05911
	0,192522	0,025817	0,048142	-0,00217	0,035096
	0,175176	0,145682	0,012502	-0,06318	-0,02513

Окончание Таблицы 3

	1 вектор	2 вектор	3 вектор	4 вектор	5 вектор
	0,521165	0,158703	0,056407	0,042407	0,037734
	0,082777	-0,29398	0,211607	-0,01446	0,032455
	0,162697	0,022189	-0,11664	-0,01715	-0,13458
	0,186736	0,100236	-0,05893	-0,02182	0,045859
	0,184457	0,124434	0,018208	0,026201	0,016895
	0,180189	0,135466	0,054174	0,005857	0,034488
	0,172736	0,110145	-0,00584	0,060695	-0,08733
	0,185048	0,119428	0,031072	0,003523	0,026918
	0,166418	0,147073	0,049094	-0,02373	0,002017
	0,178514	0,058829	0,045366	-0,00398	0,01241
	0,135386	-0,10331	0,041349	-0,07038	-0,24395
	0,182603	0,118399	0,081666	0,017986	0,009606

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Фрагмент программы, реализующей процесс проецирования точек-банков из пространства показателей в пространство главных компонент. В программе – матрица данных, – вектора главных компонент.

for(i = 0; i < n; ++i)

{

sum1=0;

sum2=0;

for(j = 0; j < m; ++j)

b[j] = a[i][j];

for(j = 0; j < m; ++j)

{

sum1 = sum1+x1[j]*b[j];

sum2 = sum2+x2[j]*b[j];

}

y1[i] = sum1; //координата на векторе первой главной компоненты

y2[i] = sum2; //координата на векторе второй главной компоненты

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Таблица 4 – Координаты точек-банков на плоскости главных компонент

Продолжение Таблицы 4

Окончание Таблицы 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Фрагмент программы, реализующей построение упругой кривой. В программе через обозначена матрица данных, – матрица координат узлов кривой.

Функция, вычисляющая расстояние между точками:

double distance (double x1, double y1, double x2, double y2)

{

return sqrt(pow((x1 - x2), 2) + pow((y1 - y2), 2));

}

Функция, для вычисления номера узла, который ближе всего находится к точке данных:

int min_dist (double *d, int n)

{

int i, k;

double min;

min = d[0];

k = 0;

for (i = 0; i < n; i++)

{

if (d[i] < min)

{

min = d[i];

k = i;

}

}

return k;

}

Функция, вычисляющая значение функции :

int delta (int i, int j)

{

if (i == j)

return 1;

else

return 0;

}

Вспомогательные функции для вычисления коэффициентов матрицы системы, которую надо будет решать:

int deltaE (int i, int k)

{

return delta(i, k) - delta(i+1, k);

}

int deltaR (int i, int k)

{

return delta(i + 1, k) + delta(i - 1, k) - 2*delta(i, k);

}

Функция для вычисления нормы элемента:

double norm (double **y, int p, int m)

{

int i, j;

double n = 0;

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

n = n + y[i][j]*y[i][j];

}

}

n = sqrt(n);

return n;

}

Функция для вычисления значения функционала :

double Uy (double **X, int n, double **y)

{

double tmp, tmpr,**K, *d, uy;

int i, j, k, min;

K = new double *[p];

d = new double [p];

for (i = 0; i < p; i++)

{

K[i] = new double [n];

}

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < n; j++)

K[i][j] = -1;

}

for (i = 0; i < n; i++)

{

for (j = 0; j < p; j++)

{

d[j] = distance(X[i][0], X[i][1], y[j][0], y[j][1]);

}

min = min_dist(d, p);

K[min][i] = i;

}

uy = 0;

for (i = 0; i < p; i++)

{

k = 0;

for (j = 0; j < n; j++)

{

if (K[i][j] >= 0)

{

k = k + 1;//количество точек в i-ом таксоне

//формирование U(y):

uy = uy + pow(distance(X[j][0] - y[i][0], X[j][1] - y[i][1], 0, 0), 2);

}

}

}

uy = uy/(double)n;

return uy;

}

Функция для вычисления значения функционала :

double U (double **y, int p, int m, double uy, double lyambda, double mu)

{

int i;

double u = uy;

for (i = 0; i < p - 1; i++)

{

u = u + lyambda*pow(distance(y[i+1][0] - y[i][0], y[i+1][1] - y[i][1], 0, 0), 2);

}

for (i = 1; i < p - 1; i++)

{

u = u + mu*pow(distance(y[i+1][0] + y[i-1][0] - 2*y[i][0], y[i+1][1] + y[i-1][1] - 2*y[i][1], 0, 0), 2);

}

return u;

}

Задается начальное положение узлов:

min = (int)X[0][0];

for (i = 0; i < n; i++)

{

if (X[i][0] < min)

min = (int)X[i][0];

}

min = min - 1;

for (i = 0; i < p; i++)

{

y[i][0] = min + i*hx;

y[i][1] = 0;

}

do

{

count++;

//Формирование матрицы K:

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < n; j++)

K[i][j] = -1;

}

for (i = 0; i < n; i++)

{

for (j = 0; j < p; j++)

{

d[j] = distance(X[i][0], X[i][1], y[j][0], y[j][1]);

}

min = min_dist(d, p);

K[min][i] = i;

}

//Формирование правой части:

for (i = 0; i < p; i++)

{

b[i][0] = 0;

b[i][1] = 0;

k = 0;

for (j = 0; j < n; j++)

{

if (K[i][j] >= 0)

{

b[i][0] = b[i][0] + X[j][0];

b[i][1] = b[i][1] + X[j][1];

k = k + 1;//количество точек в i-ом таксоне

}

}

b[i][0] = b[i][0]/(double)n;

b[i][1] = b[i][1]/(double)n;

qt[i] = k;

}

uy = Uy(X, n, y);

uOld = U(y, p, m, uy, lyambda, mu);

if (count == 1)

{

ubest = uOld;

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

ybest[i][j] = y[i][j];

}

}

}

if (count > 1)

{

mu = mu/2;

lyambda = lyambda/2;

}

//Формирование матрицы А:

for (j = 0; j < p; j++)

{

for (k = 0; k < p; k++)

{

e = 0;

for (i = 0; i < s; i++)

{

e = e + (lyambda/p)*deltaE(i, j)*deltaE(i, k);

}

r = 0;

for (i = 1; i < s; i++)

{

r = r + (mu/p)*deltaR(i, j)*deltaR(i, k);

}

A[j][k] = (qt[j]*delta(j, k))/(double)n + e + r;

}

}

//Решение системы методом Зейделя:

for (j = 0; j < p; j++)

{

for (k = 0; k < m; k++)

{

yk[j][k] = y[j][k];

}

}

do

{

for (j = 0; j < p; j++)

{

for (k = 0; k < m; k++)

{

yki[j][k] = yk[j][k];

}

}

for (j = 0; j < p; j++)

{

tmp = 0;

tmpr = 0;

for (k = 0; k < p; k++)

{

if (j!= k)

{

tmp = tmp + A[j][k]*yk[k][0];

tmpr = tmpr + A[j][k]*yk[k][1];

}

}

yk[j][0] = (b[j][0] - tmp)/A[j][j];

yk[j][1] = (b[j][1] - tmpr)/A[j][j];

}

for (j = 0; j < p; j++)

{

for (k = 0; k < m; k++)

{

yki[j][k] = yki[j][k] - yk[j][k];

}

}

norma = norm(yki, p, m);

}

while (norma > eps);

//Метод имитации отжига:

uy = Uy(X, n, yk);

u = U(yk, p, m, uy, lyambda, mu);

if(count == 1)

{

Q = uOld - u;

}

if (u < uOld || (double(rand()%10))/10 < exp((-1)*(u - uOld)/mu))

{

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

y[i][j] = yk[i][j];

}

}

}

Q = Q*0.895;

uy = Uy(X, n, y);

u = U(y, p, m, uy, lyambda, mu);

if (u < ubest)

{

difference = abs(u - ubest);

ubest = u;

for (i = 0; i < p; i++)

{

for (j = 0; j < m; j++)

{

ybest[i][j] = y[i][j];

}

}

}

}

while (difference > eps);

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

Фрагмент программы, реализующей процесс проецирования точек из пространства главных компонент на упругую кривую. В программе – матрица координат точек в пространстве главных компонент, – матрица координат узлов упругой кривой.

Функция, вычисляющая наклонных коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки:

double main_str_a (double x1, double y1, double x2, double y2)

{

return (y2 – y1)/(x2 – x1);

}

Функция, вычисляющая сдвиг по оси прямой, проходящей через две заданные точки:

double main_str_b (double x1, double y1, double x2, double y2)

{

return y1 – main_str_a(x1, y1, x2, y2)*x1;

}

Функция, вычисляющая наклонных коэффициент прямой, перпендикулярной данной:

double adv_str_A (double x1, double y1, double x2, double y2)

{

return (-1)/(main_str_a(x1, y1, x2, y2));

}

Функция, вычисляющая сдвиг по оси прямой, перпендикулярной данной:

double adv_str_B (double x1, double y1, double x2, double y2)

{

return 0.5*(y1 + y2) – ((-1)/(main_str_a(x1, y1, x2, y2)))*(x1 + x2)*0.5;

}

double adv_str_Bj (double x1, double y1, double x2, double y2, double x, double y)

{

return y – ((-1)/(main_str_a(x1, y1, x2, y2)))*x;

}

Функция, вычисляющая первую координату точки пересечения двух прямых:

double pc_x (double A1, double B1, double A2, double B2)

{

return (B2 – B1)/(A1 – A2);

}

Функция, вычисляющая вторую координату точки пересечения двух прямых:

double pc_y (double A1, double B1, double A2, double B2)

{

return (B2*A1 – B1*A2)/(A1 – A2);

}

Находим узел, который находится ближе всего к точке данных:

for (I = 0; I < n; i++)

{

for (k = 0; k < p; k++)

{

d[k] = distance(x[i][0], x[i][1], y[k][0], y[k][1]);

}

min = min_dist(d, p);

if (min == 0 || min == p – 1)

{

if (min == 0)

{

Am = main_str_a(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1]);

Bm = main_str_b(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1]);

A1 = adv_str_A(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1]);

B1 = adv_str_Bj(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1], x[i][0], x[i][1]);

}

if (min == p – 1)

{

Am = main_str_a(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

Bm = main_str_b(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

A1 = adv_str_A(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

B1 = adv_str_Bj(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1], x[i][0], x[i][1]);

}

pl[i][0] = pc_x(Am, Bm, A1, B1);

pl[i][1] = pc_y(Am, Bm, A1, B1);

}

else

{

A1 = adv_str_A(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

B1 = adv_str_B(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

A2 = adv_str_A(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1]);

B2 = adv_str_B(y[min][0], y[min][1], y[min + 1][0], y[min + 1][1]);

//Находим координаты точки пересечения серединных перпендикуляров:

h[0] = pc_x(A1, B1, A2, B2);

h[1] = pc_y(A1, B1, A2, B2);

A1 = main_str_a(x[i][0], x[i][1], h[0], h[1]);

B1 = main_str_b(x[i][0], x[i][1], h[0], h[1]);

Am = main_str_a(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

Bm = main_str_b(y[min][0], y[min][1], y[min – 1][0], y[min – 1][1]);

pl[i][0] = pc_x(A1, B1, Am, Bm);

pl[i][1] = pc_y(A1, B1, Am, Bm);

}

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Фрагмент программы, реализующей вычисление ошибки аппроксимации. В программе – матрица координат объектов до проекции на кривую, – матрица координат объектов после проекции на кривую.

ms = 0;

for (i = 0; i < n; i++)

{

ms = ms + pow(distance(x[i][0], x[i][1], xp[i][0], xp[i][1]), 2);

}

ms = sqrt(ms/n);

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Таблица 5 – Таблица расстояний между точками-банками и их проекциями на упругую кривую

Окончание Таблицы 5