Історична довідка

Вступ

Великі вчені старовини рахували кількісні стосунки основою суті світу. Тому числа і їх співвідношення займали найбільші розуми людства. «В дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що складав. магічні квадрати» – писав Бенджамин Франклін. Деяких видатних математиків присвятили свої роботи магічним квадратам і отримані ними результати зробили вплив на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриць, порівнянь і інших нетривіальних розділів математики.

Актуальність проекту - розвиток пізнавального інтересу до предмета математики і історії її розвитку, розвиток допитливості і логічного мислення.

Цілі і завдання проекту - досліджувати історію виникнення і розвитку магічних квадратів, вивчити способи побудови магічних квадратів. Досліджувати застосування магічних квадратів в діяльності людини, а так само в математиці або її застосуваннях.

Наукова новизна - тема мало вивчена в шкільному предметі математика, інтерес до історії виникнення і рішення магічних квадратів.

Практична ценность - магічні квадрати можна застосовувати для робіт в сільському господарстві, військовій справі, в школі при проведенні позакласних заходів і факультативу по предмету. Магічний квадрат застосовують при дослідженні психологічного портрета людини.

Об'єкт дослідження - магічні квадрати.

Історична довідка

Магічні (чарівні) квадрати мають дуже стародавню і багату історію, про яку можна написати окрему книгу.

Найперший магічний квадрат третього порядку (Рис. 1) «був відомий ще древнім китайцям під назвою Ло шу. За переказами, він вперше з'явився на панцирі священної черепахи, що виповзла з річки Ло в XXIII столітті до нашої ери, але сучасні китаєзнавці просліджують Ло шу лише до IV століття до нашої ери. З того часу і аж до Х століття цей магічний квадрат був містичним символом величезного значення». [1]

Рис. 1

З Китаю магічні квадрати проникли до Індії (приблизно у XI столітті), а потім до Японії. До Європи магічні квадрати були завезені з Візантії в XV столітті. Магічний квадрат четвертого порядку так зачарував німецького художника Альбрехта Дюрера, що він помістив його на своїй відомій гравюрі «Меланхолія». Цей квадрат став називатися квадратом Дюрера.

В середні віки магічні квадрати пов'язували з астрологією, кожній планеті відповідав свій магічний квадрат. Вважалося, що магічні квадрати володіють містичними властивостями.

«Вчення про магічні квадрати займало в математиці значне місце лише в той період, коли як основні «додатки» математики фігурували числові забобони і астрологія; надалі при виникненні нових, серйозніших «споживачів» математики з'ясувалося, що для вирішення відповідних природничо-наукових і технічних завдань теорія магічних квадратів не потрібна. З тошо часу вона стала розглядатися лише як один з математичних курйозів. Проте при всьому цьому вчення про магічні квадрати до цих пір може представляти інтерес для любителів математики, в першу чергу для учнів, через витонченість побудов і простоти і наочності завдань, не говорячи вже про те, що цим ученням є поле додатків ряду загальних теоретико-числових концепцій, вельми істотних і поза їх зв'язком з задачами теорії магічних квадратів». [5]

Тут слід сказати, що з 1964 року, коли була видана книга М. М. Постникова, з якої приведена цитата, багато що змінилося, і магічні квадрати перестали бути лише об'єктом математичних розваг і дуже витонченою головоломкою. Зараз магічні квадрати знаходять практичне вживання.

Останнім часом в Інтернеті з'явилися повідомлення про використання магічних квадратів в новітніх технологіях створення цифрових зображень. [7]

З давніх часів до наших днів математики і навіть люди інших професій займаються складанням магічних квадратів, розробкою методів побудови, класифікацією магічних квадратів, вивченням їх властивостей. Великий інтерес викликало питання про загальну кількість магічних квадратів різних порядків. Магічного квадрата розміром 2х2 не існує. Магічний квадрат третього порядку всього один з точністю до поворотів і віддзеркалень. Цей квадрат показаний на рис. 1.

Існує 880 магічних квадратів четвертого порядку з врахуванням поворотів і віддзеркалень. Вперше всі ці квадрати побудував французький математик Френикль де Бесси (Бернар) (1605 – 1675). Френикль виконав дуже велику роботу по дослідженню властивостей магічних квадратів четвертого порядку. Його класифікація цих квадратів дуже цікава. [2]

«...Французьким академіком Бернаром Френиклем де Бесси було написано два вигадування про магічні квадрати. Це були рукописні доповіді, представлені їм Королівській академії наук в Парижі. Вони були надруковані вперше в результаті клопоту математика Лягира лише в 1693 г, через 18 років після смерті Френикля. Не будь Лягира, невідомо скільки роки лежали б роботи Френикля в архівах Королівської академії...

...Трудолюбіє Френикля особливо видно в його роботі «Загальна таблиця магічних квадратів в чотири». Френикль був і залишається єдиним математиком, який обчислив і побудував усі 880 варіантів магічних квадратів у 16 клітинках. Таблиця займає 43 сторінки книги. Важко уявити собі, скільки часу зайняла у Френикля ця робота. Важко тому що у наш час і в XVII ст рішення однієї і тієї ж задачі виглядають абсолютно по-різному». [2]

«Існує безліч класифікацій магічних квадратів порядка 4, заснованих на різних принципах. Одна з кращих класифікацій була запропонована Генрі Е. Дьюдені.

Точне число квадратів порядка 5 не було відомо до 1973 р., коли повний перебір магічних квадратів був здійснений комп'ютерною програмою, розробленим Р. Шреппелем, математиком і програмістом з «Information International». Прогін програми на комп'ютері займає близько 100 годин машинного часу. Остаточне повідомлення, написане М. Білером, з'явилося в жовтні 1975 р. З точністю до поворотів і віддзеркалень існує 275 305 224 магічних квадратів порядка 5». [1]

Для магічних квадратів 5-го порядку теж зроблена спроба класифікації, наприклад, по числу в центральному вічку квадратів. Ця класифікація представлена в [1].

Сучасна оцінка кількості магічних квадратів різних порядків і видів представлена в [8].

Особливе місце в теорії магічних квадратів займає розробка методів побудови. За декілька століть складена безліч самих різних алгоритмів. В даний час більшість з них формалізована і запрограмована. Це дозволяє в лічені секунди за допомогою комп'ютерної програми побудувати магічний квадрат будь-якого порядку, що володіє тими або іншими властивостями, – асоціативний, пандіагональний, здійснений, бімагичеський і так далі Деякі методи є універсальними, як наприклад: метод складених квадратів, метод використання двох латинських ортогональних квадратів. Інші методи застосовуються лише для побудови окремої серії порядків і конкретних видів магічних квадратів.

Багато методів побудови магічних квадратів розроблено в XX-XXI вв. Найцікавішими з них, мабуть, є методи побудови ідеальних і досконалих магічних квадратів.

Друге найважливіше питання в теорії магічних квадратів – вивчення різних перетворень. Існують дві групи перетворень магічних квадратів – еквівалентні і нееквівалентні. Перетворення першої групи переводять вихідний магічний квадрат в еквівалентний (або ізоморфний) магічний квадрат. До цієї групи входять, перш за все, основні перетворення магічних квадратів – повороти і віддзеркалення. Перетворення другої групи перетворюють вихідний магічний квадрат на істотно новий (або неізоморфний) магічний квадрат.

Про користь занять магічними квадратами дуже добре сказав французький учений А. Обрі: «Складання магічних квадратів є чудовою розумовою гімнастикою, що розвиває здатність розуміти ідеї розміщення, поєднання, симетрії, класифікації, узагальнення і т. д.» [6]