Глава X о наклонной плоскости

Само собой разумеется, что потребу­ется большая сила для подъема тела в направлении перпендикуляра СВ, нежели в направлении наклонной плоскости АВ. Сделаем так, что пря­мая ВА (рис. 22) будет двигаться относительно неподвиж­ной точки А. Если мы будем приближать ее к перпен­дикуляру AD, плоскость бу­дет становиться наклонной по мере того, как мы будем ее поднимать, и для того, чтобы удержать груз, понадобится большая сила. Если же, на­оборот, понижать ее, прибли­жая к горизонтальной линии СА, наклон плоскости будет уменьшаться по мере того,

как мы будем ее опускать, и такой же груз будет удержи­ваться меньшой силой. В первом случае наклонная пло­скость удерживает меньшую часть груза, а во втором — большую. Все это подтверждается опытом.

Если сила Р находится в равновесии с грузом D (рис. 23), когда направ­ление силы тяги TD параллельно плоскости, то, как только это направ­ление перестанет быть параллельным плоскости, равновесие нарушится, и груз потянет сила Р. Следователь­но, если угодно удержать тяжесть наименьшей силой, надо, чтобы направление тяги было параллельно плоско­сти. И это подтверждается опытом.

Но поскольку плоскость, по мере того как Вы придаете ей большую или меньшую высоту наклона, поддержи­вает большую или меньшую часть тяжести, Вам ясно, что это правило можно обобщить. И тогда Вы скажете:

сила всегда так относится к тяжести, как высота накло­на плоскости относится к ее длине. В сущности, это правило является следствием фактов, нами рассмотрен­ных. Оно не что иное, как эти самые факты, выраженные обобщенно. Теперь попытаемся доказать это согласно уста­новленным нами принципам.

Сила Р (рис. 23) действует на центр тяжести D, т. е. на конец линии FD; тяжесть стремится упасть в направлении

линии DEC перпендикулярно горизонту, и она упала бы в этом направлении, если бы ее частично не поддерживала плоскость. Вы можете рассматривать DFE как изогнутый рычаг, имеющий свою точку опоры в F; Вы видите, что прилагаемая сила воздействует в конце более длинного пле­ча рычага, а тяжесть давит на конец короткого плеча, на ко­нец линии FE, перпендикулярной DC; она давит на точку Е и упала бы перпендикулярно в С, если бы не была под­держана.

Следовательно, DF выражает расстояние, на которое точка приложения силы отдалена от точки опоры, a EF вы­ражает расстояние от этой самой точки, на которой нахо­дится тяжесть. Следовательно, две эти линии выражают условия, необходимые для равновесия, т. е. определенное соотношение силы и тяжести. Итак, эти две линии соотно­сятся между собой, как высота и длина плоскости: EF отно­сится к DF, как ВА к АС. Вот это и следует доказать.

Сказать, что EF относится к DF, как ВА к АС,— это зна­чит сказать, что три стороны треугольника DEF так же со­относятся друг с другом, как и три стороны треуголь­ника ABC, поскольку если даны две стороны треугольника, то тем самым определена и третья.

Ведь сказать, что три стороны треугольника EDF так относятся друг к другу, как три стороны треугольника ABC,— это значит сказать, что эти треугольники подобны; нам остается доказать, что они действительно подобны.

Они подобны один другому, если они подобны третьему. Итак, DEF подобен DCF. Во-первых, DEF имеет прямой угол F, a DCF также имеет прямой угол F — они подобны в том, что каждый имеет прямой угол. Во-вторых, они по­добны и в том, что угол CDF является общим для обоих. Стало быть, они одинаково подобны и третьему, так как, если даны два угла, третий определен.

Так же легко будет понять, что треугольник ABC подо­бен CDF, поскольку Вы видите, что каждый из них имеет прямой угол. Вы видите также, что наклонная линия АС падает на две параллельные линии АВ и CD и что, следова­тельно, угол DCA равен углу CAB. Вспомните сказанное нами, когда мы рассматривали углы, образующиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Когда какая-нибудь тяжесть находится в равновесии на наклонной плоскости, то доказано, что расстояние до точки опоры относится к расстоянию от точки приложе­ния силы до этой же точки, как высота относится к длине

плоскости, и что, следовательно, сила относится к тяжести, как высота плоскости — к ее длине.

Тело спускается с различной ско­ростью в зависимости от того, падает ли оно перпендикулярно к горизонту или же падает по наклонной плоско­сти. Оно не может спускаться иначе как с силой, равной той силе, которая удерживала бы его в равновесии. Стало быть, мы можем вывести общее правило: сила, с которой тело спускается по наклонной плоскости, относится к весу тела, как высота плоско­сти к ее длине. Теперь следует найти путь, который оно должно пройти по линии АВ за то же время, за какое оно проходит путь от А до С.

Начертим плоскость ABC (рис. 24), длина которой бу­дет вдвое больше высоты, и разделим АС и АВ на четыре части.

Я предполагаю, что АЕ, EF, FG и GC — четыре отрезка, которые тело должно пройти за две секунды.

На тело действует наполовину меньшая сила, когда оно падает из А в В, чем когда оно падает из А в С. Стало быть, оно должно иметь наполовину меньшую скорость, и потому оно достигает В лишь за четыре секунды. Итак, сила тяготения воздействует на тела одинаково, в каких бы на­правлениях они ни двигались, иначе говоря, в равные промежутки вре­мени ускорение движения составляет пропорцию 1, 3, 5, 7 и т. д. Стало быть, тела, падающие

из А в С, проходят в первую секунду отрезок пути АЕ, а в следующую — отрезки EF, FG, GC, и точно так же тело, падающее из А в В, в первые две секунды должно пройти отрезок АН, а в две следующие — отрезки HI, IK, КВ. Тело, двигающееся по этой наклонной плоскости, при­дет в Н за такое же время, как если бы оно падало перпен­дикулярно из А в С, т. е., падая но линии АВ в течение двух секунд, оно окажется не ниже, чем падая по линии АС в те­чение одной секунды. Ведь Е и Н находятся на равном расстоянии от горизонтальной линии СВ.

Если Вы опустите перпендикуляр на АВ, Вы увидите, что он падает точно в Н. Стало быть, чтобы узнать путь, который тело должно пройти по наклонной плоскости за такое же вре­мя, как если бы оно падало из А в С, нам нужно всего лишь опустить перпендикуляр из С на плоскость АВ.

Раз сила тяготения действует всегда одинаково, то из этого следует, что, каким бы ни был наклон плоскости, тело, когда оно опустится вниз, будет иметь ту же скорость, какую бы оно имело, если бы падало вдоль перпен­дикуляра.

Если плоскость имеет больший на­клон и потому короче, ускорение будет большим и эта скорость будет достигнута раньше; если плоскость менее наклонна, ускорение будет меньшим и та же скорость будет достигнута позднее. Стало быть, какой бы ни была линия, которую описывают несколько тел, достигнув низа, они имеют ту же силу всякий раз, когда падают с той же высоты.