Глава VI о весах

Предположим, что на прямую АВ (рис. 9) мы нанесли с обеих сторон несколько точек на равном расстоя­нии от центра. Если данная прямая движется относительно центра, то эти точки опишут дуги, которые будут иметь различную для разных точек длину. Эти дуги будут частями про­странства, пройденными в одно и то же время всеми точ­ками. А ведь мы уже видели, что пройденные части про­странства равны произведению времени на скорость.

Время одинаково для всех точек, и поэтому скорости отно­сятся друг к другу как части пространства и, следователь­но, как расстояния от центра.

Подвесим тела к этим точкам. Из­вестно, что сила есть произведение массы на скорость. Вы только что ви­дели, что скорости здесь относятся друг к другу, как расстояния. Сила, с которой каждое из этих тел будет стремиться вниз, бу­дет пропорциональна произведению его массы на его рас­стояние от центра.

Предположим, что два тела рав­ной массы (рис. 10) находятся на

равном расстоянии [от центра], например, в точке 10; они будут воздействовать одно на другое с одина­ковой силой. А приложит к В точно такое же усилие, что­бы его поднять, какое В приложит к А. Поэтому ни одно из них не поднимется и не опустится. Это случай равновесия. Если, уменьшив массу А наполовину, мы поместим его на двойное расстояние, например в точку 6, в то время как В

находится в точке 3, оно выиграет в силе путем увеличения расстояния столько, сколько оно потеряло за счет умень­шения своей массы. И здесь также будет равновесие. Тела, подвешенные таким образом, называются грузами. Итак, грузы находятся в равновесии, когда их массы равны и они расположены на равном расстоянии от центра; если же их

массы неравны — когда масса большего относится к массе меньшего, как расстояние меньшего к расстоянию больше­го. Равновесие между В, масса которого 6, и А, масса кото­рого 3, возникнет лишь тогда, когда расстояние от В будет 3, а расстояние от А будет 6.

Отсюда следует, что в случае равно­весия произведение веса на расстоя­ние остается и с той и с другой сторо­ны одинаковым и что равновесие

нарушается, когда произведения разные. Произведение остается тем же, умножают ли 3 массы на расстояние 6 либо 6 масс на расстояние 3, и А уравновешивается с В. Но если изменить расстояние одного из них, произведение изменится и равновесие нарушится. Вы видите, что силы взаимно соотносятся так же, как произведения. Если А ве­сом 4 ливра находится на четвертом делении, оно будет иметь силу, равную силе [тела] В весом 16 ливров, которое я подвешу на первое деление, потому что 1 умножить на 16,

как и 4 умножить на 4, равно 16. Если пододвинуть А ко второму делению, то его сила будет относиться к силе В как 1 к 16, так как 2 умножить на 4 равно 8, и равновесия не будет.

Таким образом, Вам стало ясно, что несколько грузов могут оказаться в равновесии с одним. Пусть А весом 2 ливра окажется на расстоянии 3, В весом 4 ливра — на расстоянии 5, С весом 3 ливра — на расстоянии 6; тогда получится:

2 X 3 = 6; 4 X 5 = 20; 3 X 6 = 18.

Все эти тела будут в равновесии с грузом 44 ливра, поме­щенным на первом делении.

Прямая, разделенная на части в та­ком соотношении, представляет весы. Сила тяжести, подвешенной на ве­сы, — это и будет произведение веса на расстояние. Это можно вы­разить так: сила веса пропорциональна его произве­дению на расстояние.

Из всех приведенных выше наблюде­ний явствует, что два тела, пребы­вающие в равновесии, имеют один и тот же центр тяжести и что вслед­ствие этого они могут опуститься лишь при условии, что опустится их центр тяжести. Из этого Вам ясно, почему шар, по­мещенный на горизонтальной плос­кости, остается неподвижным, хотя он касается лишь одной точки. Это происходит потому, что центр тяже­сти, вокруг которого все части нахо­дятся в равновесии, поддерживается этой плоскостью. Ес­ли бы не было равновесия, шар вращался бы, пока центр тяжести не расположился бы сколь возможно ниже.

Вы можете вывести заключение, что тело подпирается в точке, поддержи­вающей его центр тяжести, и Вы представите себе как бы собранной в этом центре всю силу, с которой оно стремится к Земле.

Направление центра тяжести верти­кально, т. е. перпендикулярно к гори­зонту, и эта тяжесть исчезает в центре тяжести Земли.

Вы понимаете, что, если поместить тело на наклонную плоскость, оно упадет, так как направление силы противодействия, создаваемой на­клоном, не противоположно направлению центра тяже­сти. Сила противодействия направлена под углом и по­этому может только замедлить падение. Когда тело поме­щено на наклонную плоскость (рис. 11), направление центра тяжести либо проходит через его основание, либо оказывается вне его основания. В первом случае тело будет скользить, во втором оно покатится.

Я прошу Вас отметить, что центр тяжести тела не всегда совпадает с центром его величины. Оба этих центра могут быть совмещены лишь при условии, что это геометрически правильное, сим­метричное и однородное тело. Так же как у двух тел, под­вешенных на весах, центры тяжести не могут находиться на одинаковом расстоянии от центра коромысла, если эти тела не равны между собой, так и части тела смогут быть в равновесии вокруг центра его величины только при ус­ловии тождественности мас­сы и расстояний соответству­ющих частей этого тела. А ведь такое условие выполни­мо, лишь если это геометри­чески правильное, симмет­ричное и однородное тело. В данной главе очевидна тождественность всех положе­ний, выводимых друг из друга. Следовательно, они до­казаны в силу очевидности разума. Ведь все теоремы [данной главы] — это по сути одна и та же теорема, но выражена она различно. Рычаг, колесо, ворот и прочие механизмы, о которых мы еще будем говорить,— все это те же весы, по-разному устроенные. Вполне достаточно будет освоиться с проведенными нами наблюдениями над

весами, для того чтобы при беглом чтении понять по­следующие главы, где речь идет о рычаге, колесе и т. п., но если плохо усвоить, что представляют собой весы, трудно будет рассуждать о прочих машинах.

ГЛАВА VII О РЫЧАГЕ

Мы видели, как, придавая различные формы какому-нибудь положению, наш разум открывает истины, кото­рых он [сам по себе] не усмотрел бы; точно так же при различном устройстве весов наша рука поднимает тела, которых она не смогла бы сдвинуть: ма­шины для рук суть то же, что методы для ума.

Рычаг, изображенный на рис. 12 ли­нией АВ, поддерживается на под­порке С, вместо того чтобы быть под­вешенным, как коромысло весов. Из точки подвеса мы делаем точку опоры, для того чтобы применить коромысло для других целей.

Это изменение не сделает из коромысла механизма, отличного от весов; в сущности, здесь остается тот же механизм, а принципы, объясняющие результаты работы одного, объясняют и результаты работы другого.

Вам понятно, что при малой затрате силы Вы сможете поднять значитель­ную тяжесть, если расстояние, на ко­тором Вы находитесь от точки опоры, относится к расстоя­нию до места нахож­дения тяжести так же, как сила этой тя­жести относится к силе, Вами прило­женной, или если произведение силы на расстояние одной ча­сти равно произведе­нию силы на расстоя­ние другой. Силой, способной удержать один ливр, Вы поднимете тяжесть в 100 ливров, находящуюся на расстоянии одного дюй-

ма, если будете действовать на расстоянии 100 дюймов.

Пусть прямая АВ (рис. 12) движется на своей опоре; тогда дуги, описываемые различными точками, пропор­циональны их расстояниям от точки опоры. Скорости и, следовательно, приложенные к этим точкам силы будут пропорциональны расстояниям от опоры. Пусть тяжесть D, равная 4, будет помещена в точке, находящейся на рас­стоянии 2; сила, равная 2, будет в равновесии, так как она прилагается на расстоянии 4. Закон гласит, что равновесие устанавливается, когда произведение силы на расстояние одинаково и с той и с другой стороны, либо, что то же са­мое, когда D относится к Р, как расстояние от Р относится к расстоянию от D.

Следовательно, сила Р может быть тем меньшей, чем ближе к точке опоры будет находиться D.

Сочетая несколько рычагов, получают такой же резуль­тат, прилагая меньшую силу. На рис. 13 Вы видите три

рычага; понятно, что если сила, для того чтобы быть в рав­новесии с тяжестью 8, должна действовать как 4 на точ­ку А, то достаточно будет, чтобы она действовала как 2 на точку В и как 1 на точку С.

Если прибавить еще один блок, то вес одного ливра удержит вес в 32 ливра, и Вы понимаете, что одна и та же сила поддержит и больший груз, по мере того как будет увеличено число блоков.

Правило для изогнутых рычагов то же, что и для других (рис. 14), т. е. равновесие устанавливается, когда расстояние до точки приложения силы так относится к рас-

стоянию до тяжести, как величина тяжести — к величине движущей силы. Но здесь следует привести некоторое до­полнительное соображение. Возьмем, например, ры­чаг ABC, где В — точка опоры, a D — движущая сила.

Вы бы ошиблись, приняв расстояние до точки приложения силы за длину линии ВС, потому что сила, действующая в направлении CD, в С имеет такую величину, какую она имела бы в D, где опускается перпендикуляр, начерченный относительно DC; этот перпендикуляр BD и является расстоянием до точки приложения силы. Одним словом, надо выпрямить этот рычаг и вообразить, что сила работа­ет в D, как она работала бы при прямом рычаге, второе плечо которого было бы равным BD.

Одни имеют точку опоры между тя­жестью и точкой приложения силы — это те, о которых мы только что гово­рили. У других точка приложения силы находится между тяжестью и точкой опоры, у третьих тяжесть располагает­ся между точкой приложения силы и точкой опоры.

В рычаге, где точка приложения силы (рис. 15) распо­ложена между тяжестью и точкой опоры, если она нахо-

дится на расстоянии 1 от этой точки, когда тяжесть в один ливр находится на расстоянии 8, для установления равно­весия необходимо, чтобы она была равна 8, а если пере­местить ее на 2, надо, чтобы она была равна 4.

В рычаге, где тяжесть (рис. 16) находится между точкой приложения силы и точкой опоры, если тяжесть равна 4, находится на расстоянии 2, сила, равная 1, будет уравновешена на расстоянии 8. Но если ее переместить на 4, то надо будет, чтобы она была равна 2. Одним словом, закон таков, что сила относится к тяжести, как расстояние до этой тяжести относится к расстоянию до точки приложе­ния силы.

Если два человека несут тяжесть, подвешенную к ры­чагу АВ (рис. 17), один по отношению к другому является

точкой опоры рычага, а та часть, которую несет В, отно­сится к той, которую несет А, как AD к BD. Если AD отно­сится к BD как 2 к 3 и если тяжесть равна 50 ливрам, В бу­дет нести 20, а А — 30. Значит, можно поместить тяжесть так, чтобы сильный человек и ребенок несли каждый часть, пропорциональную своим силам.

ГЛАВА VIII О ВОРОТЕ

Рычаг поднимает грузы лишь на не­большую высоту. Когда желают под­нять их выше, пользуются воротом (рис. 18). Сила действует на пери­метр; поэтому спицы представляют для Вас плечи весов, а длина этих спиц является расстоянием, на которое сила отдалена от точки опоры.

Расстояние до груза Вокруг вала, вращающегося вместе с воротом, наматывается веревка, на которую подвешивают груз. Полу­диаметром вала становится расстоя­ние, на которое груз отстоит от точки опоры. Равновесие получится, когда спица будет относиться к полудиа­метру, как груз к силе. Например, один ливр, находя-

щийся на краю спицы в 10 футов, уравновесит груз в 10 ливров, если полудиаметр вала равен одному футу. Вы заметите, что, по мере того как груз поднимается, требуется все большая сила, чтобы его удержать, потому что бечевка, наматываясь, увеличивает диаметр оси и, следова­тельно, груз оказывается на большем расстоянии от точки опоры.