Теорема Гюйгенса-Штейнера

Найдем связь между моментами инерции относительно двух различных параллельных осей. Она устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси проходящей через центр масс, параллельно данной и произведения массы на квадрат расстояния между осями.

Докажем эту теорему. Пусть S сечение тела. Будем предполагать, что центр масс находится в точке О и оси, проходящие через точки О и А, перпендикулярны к рисунку. Мысленно разобьем тело на элементарные массы . Момент инерции тела найдем, проинтегрировав по всем элементарным массам. Радиус-вектор элементарной массы относительно оси А , где - ее радиус-вектор относительно оси О, - радиус-вектор , его модуль равен расстоянию между осями. Таким образом

. (5.11)

Умножая обе части равенства (5.11) на и интегрируя по всему объему, получим:

. (5.12)

Так как ось О проходит через центр масс, последний интеграл в (5.12) обращается в нуль.

.

Интеграл слева дает момент инерции относительно оси А, первый интеграл справа - момент инерции относительно оси О, второй интеграл справа дает полную массу тела. Откуда

. (5.13)

Это и есть аналитическое выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера.