Визначення складного судження

2. Визначення логічних операцій: кон’юнкції, диз’юнкції, сильної диз’юнкції, імплікації, еквіваленції, заперечення.

3. Формалізація вербальних висловлювань.

Окрім простих, існують складні судження.

Складне – судження, що складається з двох або більше простих суджень, з’єднаних за допомогою логічних сполучників. Просте судження розглядається як атом, складне – як молекула.

Складні судження, як і прості, можуть бути істинними і хибними. Але якщо істинність простого судження визначається його відповідністю чи невідповідністю дійсності, то істинність складного судження залежить від істинності його складових і співвідношення між ними.

В складних судженнях розкривається одразу кілька зв’язків між предметами думки.

За структурою складні судження також різняться від простих. Основними структурними елементами тут виступають не поняття, а прості судження. Зв’язок між елементами складних суджень також здійснюється за допомогою не одного сполучника “є”, а кількох: кон’юнкції, диз’юнкції, імплікації, еквіваленції.

Якщо в простих судженнях змінними були суб’єкт і предикат, а постійними – логічні сполучники “є”, “не є”, то в складних судженнях змінними виступають прості судження (пропозиційні змінні), а постійними – набір логічних сполучників.

Точний смисл логічних сполучників визначається у логіці за допомогою таблиць істинності.

Число рядків у таблиці істинності визначається формулою 2ⁿ, де n – число пропозиційних змінних, що входять до формули, а 2 – це кількість логічних значень: “істина” й “хиба”.

Розглянемо види складних суджень.

Кон’юнктивне (з’єднувальне) судження – судження, що складається із кількох простих, пов’язаних логічним сполучником “і” (кон’юнкцією).

У природній мові кон’юнкція передається висловлюваннями “А і В”, “Як а, так і В”, “А разом з В”, “А в той же час, як і В”, “Не лише, а й В” та ін. (“він добре грає в шахи і теніс”).

Кон’юнкція буде істинною лише в тому разі, коли всі її складові будуть істинними. Вона є хибною тоді, коли хоча б одне з висловлювань, що входять до її складу, буде хибним.

Таблиця істинності для кон’юнкції

Диз’юнктивне (розділове) судження – судження, що складається із кількох простих, пов’язаних логічним сполучником “або” (диз’юнкцією).

У природній мові диз’юнкція передається виразами “А або В”, “А чи В, або ж обидва разом”, “А якщо не В” тощо. (“Сьогодні ввечері він слухатиме музику або читатиме книгу”).

Диз’юнкція поділяється на нестрогу (слабку) і строгу (сильну).

Слабка диз’юнкція – судження, в якому сполучник “або” вживається в з’єднувально-розділовому значенні.

Диз’юнкція буде істинною лише тоді, коли хоча б одне із висловлювань, що входить до її складу, буде істинним. У випадку, якщо всі складові висловлювання хибні, диз’юнкція буде хибною.

Таблиця істинності для слабкої диз’юнкції

Сильна диз’юнкція – судження, в якому сполучник “або” вживається у строго розділовому значенні.

В природній мові строгій диз’юнкції відповідають вислови “А чи В, але не обидва разом”, “або А, або В”, “А, крім випадку, коли В” та інші. Слід враховувати, що в природній мові немає достатніх засобів для точного вираження розрізнення між сильною і слабкою диз’юнкцією, тому при визначенні типу диз’юнкції слід враховувати зміст висловлювань і їхній контекст.

На відміну від слабкої, сильна (строга) диз’юнкція передбачає використання сполучника “або” в строго розмежувальному смислі. Сильна диз’юнкція передбачає, що істинним може бути А або В, але не обидва разом.

Строга диз’юнкція може бути істинною лише тоді, коли одне із висловлювань буде істинним, а решта хибними. Хибною строга диз’юнкція може бути в двох випадках: якщо істинне більш ніж одне висловлювання, що входять до її складу, або ж якщо жодне з висловлювань не є істинним.

Таблиця істинності для сильної диз’юнкції

Імплікативне (умовне) висловлювання – це висловлювання, утворене з двох простих суджень, що перебувають у відношенні підстави й наслідку.

Імплікація складається із підстави та наслідку.

Підстава (антецедент) – це частина умовного судження, котра виражає умови існування (неіснування) якогось явища.

Наслідок (консеквент) – це частина умовного судження, яка виражає те, що обумовлюється даною умовою.

В природній мові імплікація виражається у висловах типу “Якщо А, тоді В”, “У випадку А має місце В”, “В, якщо А” тощо. (“Якщо йде дощ, то дахи будинків мокрі”).

Однак не кожне речення, в якому наявний сполучник “якщо...то” містить імплікацію. Є ряд речень, наприклад “якщо вчора курс долара зріс, то сьогодні він впав”, які не виражають причинно-наслідкових зв’язків. З іншого боку, умовне судження може й не містити умовного сполучника “поспішиш – людей насмішиш”.

Імплікація буде хибною лише тоді, коли перше висловлювання (антецедент) істинне, а друге (консеквент) – хибне. У всіх інших випадках імплікація є істинною.

Таблиця істинності для імплікації.

Імплікативне висловлювання фіксує причинно-наслідковий зв’язок, виокремлюючи умову і наслідок.

Важливе значення має аналіз понять “необхідна умова” та “достатня умова”.

Необхідна умова – така умова, за відсутності якої наслідок не настає. Однак наявність цієї умови не означає обов’язкову появу наслідку. Необхідна умова фіксується в імплікаціях -А → -В, В → А. Тобто, якщо мав місце наслідок, то мала місце й необхідна для цього умова.

Достатня умова – така умова, яка є достатньою, але не необхідною для появи наслідку. Ця умова фіксується імплікаціями А → В, -В → -А. На відміну від необхідної, дана умова призводить до появи наслідку, однак наслідок може з’явитись і з інших причин.

Розрізнення між достатньою та необхідною умовою дозволяє уточнити характер імплікації.

Умови можуть бути достатніми, але не необхідними, необхідними, але не достатніми. У деяких випадках умови можуть бути і необхідними, і достатніми. Тоді має місце еквіваленція.

Еквівалентне судження – таке умовне судження, обидві частини якого можуть бути як підставою, так і наслідком.

В природній мові еквіваленції відповідають вирази “А тоді і тільки тоді, коли В”, “А, якщо В, і В, якщо А”, “Якщо А, тоді В і навпаки” тощо. (“якщо і тільки якщо студент старанно навчатиметься, він зможе скласти іспит”).

Еквіваленція ще називається подвійною імплікацією, що є цілком закономірним з огляду на те, що еквіваленція фіксує необхідні і достатні умови певного наслідку, маючи форму “А → В і В → А”.

Еквіваленція є істинною тоді, коли прості висловлювання, що входять до її складу, або одночасно істинні, або одночасно хибні. Коли ж одне з висловлювань істинне, і інше – хибне, тоді еквіваленція буде хибною.

Таблиця істинності для еквіваленції.

Заперечення – логічний сполучник, за допомогою якого з істинного висловлювання утворюють хибне і навпаки.

У природній мові запереченню відповідають вирази “не А”, “А не має місця”, “невірно, що А”, “А хибне” тощо. (“Невірно, що зараз іде дощ”).

Заперечення буде істинним, якщо висловлювання буде хибним, і навпаки, хибним, якщо висловлювання буде істинним.

Таблиця істинності для заперечення.

Для аналізу складних висловлювань, виявлення його компонентів, застосовується формалізація. Формалізована мова називається мовою логіки висловлювань.

Мова логіки висловлювань – це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури складних висловлювань. Вона характеризується двома аспектами: списком знакових засобів, які застосовуються у цій логічній теорії, і визначенням формули.

До знакових засобів належать:

Знаки змінних логіки висловлювань:

p, q, r, s, p1, q1, r1, s1…

Ці знаки позначають прості висловлювання природної мови. Вони ще називаються пропозиційними змінними.

Знаки логічних сполучників:

- - знак заперечення (не; невірно, що)

/\ - знак кон’юнкції (і; а також)

\/ - знак диз’юнкції (або; чи)

→ - знак імплікації (якщо... то...)

↔ - знак еквіваленції (тоді і тільки тоді, коли)

Технічні знаки

() – дужки

, - кома

Визначення формули логіки висловлювань:

1. Будь-яка пропозиційна змінна є формулою.

2. Якщо А – формула, то (-А) – також формула.

3-6. Якщо А, В формули, то їх поєднання за допомогою кон’юнкції, диз’юнкції, імплікації та еквіваленції також будуть формулами.

(знаки А і В є не знаками мови логіки висловлювань, а позначками для змінних та їх комбінацій).

Формулами логіки висловлювань є лише вирази, побудовані згідно із пунктами визначень логіки висловлювань ((-р), (р → q) є формулами, а р\/, р\/ q → до формул не належать)

Формули поділяються на кілька різновидів:

Проста формула – формула, що виражає просте висловлювання. До її складу входять окремо взяті пропозиційні змінні.

Складна формула – формула, яка виражає складне висловлювання. До її складу поряд із пропозиційними змінними входять також логічні сполучники. У випадку, якщо до складу формули входить кілька логічних сполучників, можна виділити головний логічний сполучник, тобто головний знак

Складна формула складається з кількох формул, що називаються її підформулами.

За допомогою мови логіки висловлювань можна формалізувати висловлювання природної мови, тобто замінити його формулою, яка в явному вигляді виражатиме логічну форму цього висловлювання.

Для формалізації вербальних виразів слід зробити такі кроки:

1. Виділити усі прості висловлювання, які входять до складного, та позначити їх пропозиційними змінними.

2. Визначити логічні сполучники, які поєднують прості висловлювання, та позначити їх відповідними знаками.