Желоб наибольшего сечения

ЗАДАЧА

Прямоугольный металлический лист (рис. 27) надо согнуть желобом с сечением в форме равнобокой трапеции. Это можно сделать различными способами, как видно из рис. 28. Какой ширины должны быть боковые полосы и под каким углом они должны быть отогнуты, чтобы сечение желоба имело наибольшую площадь (рис. 29)?

Рис. 27.

Рис. 28.

Рис. 29.

РЕШЕНИЕ

Пусть ширина листа l. Ширину отгибаемых боковых полос обозначим через х, а ширину дна желоба – через у. Введем еще одно неизвестное z, значение которого ясно из рис. 30.

Рис. 30.

Площадь трапеции, представляющей сечение желоба,

.

Задача свелась к определению тех значений х, у, z, при которых S достигает наибольшей величины; при этом сумма 2 х + у (т. е. ширина листа) сохраняет постоянную величину l. Делаем преобразования:

.

Величина S ² становится наибольшей при тех же значениях х, у, z, что и 3S², последнюю же можно представить в виде произведения

.

Сумма этих четырех множителей

,

т. е. неизменна. Поэтому произведение наших четырех множителей максимально, когда они равны между собой, т. е.

у + z = х + z и х + z = 3 х – 3 z

Из первого уравнения имеем:

y = х,

а так как у + 2 х = l, то х = y = .

Из второго уравнения находим:

.

Далее, так как катет z равен половине гипотенузы х (рис. 30), то противолежащий этому катету угол равен 30°, а угол наклона боков желоба ко дну равен 90° + 30° = 120°.

Итак, желоб будет иметь наибольшее сечение, когда грани его согнуты в форме трех смежных сторон правильного шестиугольника.

<Paaaa