Задача Эйлера

Стендаль в "Автобиографии" рассказывает следующее о годах своего учения:

"Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок... Это было для меня открытием. Я понял, чтó значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил..."

Вот эта задача из "Введения в алгебру" Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.

Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: "Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров". Вторая ответила: "А будь твои яйца у меня, я бы выручила за них 6⅔ крейцера". Сколько яиц было у каждой?

РЕШЕНИЕ

Пусть у первой крестьянки x яиц, тогда у второй 100 – x. Если бы первая имела 100 – x яиц, она выручила бы, мы знаем, 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене за штуку.

Таким же образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене за штуку.

Теперь определяется действительная выручка каждой крестьянки:

первой: ,

второй: .

Так как выручки обеих одинаковы, то

.

После преобразований имеем:

x ² + 160 x – 8000 = 0,

откуда

x ₁ = 40, x ₂ = –200.

Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; у задачи – только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Задача может быть решена еще другим, более кратким способом. Этот способ гораздо остроумнее, но зато и отыскать его значительно труднее.

Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k ² больше денег, чем вторая. Следовательно,имеем:

;

отсюда

k = .

Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3: 2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.

<Paaaa