Алгебраические комедии

ЗАДАЧА 1

Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2 ·2 = 5, 2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

Первая:

2 = 3.

На сцене сперва появляется неоспоримое равенство

4 – 10 = 9 – 15.

В следующем "явлении" к обеим частям равенства прибавляется по равной величине :

.

Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

,

.

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

.

Прибавляя по к обеим частям, приходят к нелепому равенству

2 = 3.

В чем же кроется ошибка?

РЕШЕНИЕ

Ошибка проскользнула в следующем заключении:

из того, что

.

был сделан вывод, что

.

Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (–5)² = 5², но –5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

.

но не равно .

ЗАДАЧА 2

Рис. 15.

Другой алгебраический фарс (рис. 15)

2 ·2 = 5

разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке. На сцене появляется не внушающее сомнения равенство

16 – 36 = 25 – 45.

Прибавляются равные числа:

16 – 36 + 20 = 25 – 45 + 20

и делаются следующие преобразования:

,

,

Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:

,

4 = 5,

2 ·2 = 5.

Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.

<Paaaa