Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Покупка свитера





ЗАДАЧА

Вы должны уплатить за купленный в магазине свитер 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать, сколько должны вы дать кассиру трехрублевок, чтобы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 рублей. Неизвестных в задаче два – число (х) трехрублевок и число (у) пятирублевок. Но можно составить только одно уравнение:

3 х – 5 y = 19.

Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у (вспомним, что это – числа кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала метод решения подобных "неопределенных" уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют "диофантовыми".

РЕШЕНИЕ

На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения.

Надо найти значения х и у в уравнении

3 х – 5 y = 19,

зная при этом, что х и у – числа целые и положительные.

Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е. член 3 х; получим:

3 х = 19 + 5 y,

откуда

.

Так как х, 6 и у – числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда

х = 6 + y + t,

где

,

и, значит,

3 t = 1 + 2 у, 2 y = 3 t – 1.

Из последнего уравнения определяем у:

.

Так как у и t – числа целые, то и должно быть некоторым целым числом t 1. Следовательно,

y = t + t 1,

причем

t 1 = ,

откуда

2 t 1 = t – 1 и t = 2 t 1 + 1.

Значение t = 2 t 1 + 1 подставляем в предыдущие равенства:

y = t + t 1 = (2 t 1 + 1) + t 1 = 3 t 1 + 1,
х = 6 + y + t = 6 + (3 t 1 + 1)+(2 t 1 + 1) = 8 + 5 t 1.

Итак, для х и у мы нашли выражения [Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3 х – 5 у = 19 имеет вид x = 8 + 5 t 1, y = l + 3 t 1, где t 1 – некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t 1 мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.]

x = 8 + 5 t 1,
y = 1 + 3 t 1.

Числа х и у, мы знаем, – не только целые, но и положительные, т. е. бóльшие чем 0. Следовательно,

8 + 5 t 1 > 0,
1 + 3 t 1 > 0.

Из этих неравенств находим:

5 t 1 > –8 и t 1 > – ,
3 t 1 > –1 и t 1 > – .

Этим величина t 1 ограничивается; она больше чем (и, значит, подавно больше чем ). Но так как t 1 – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t 1 = 0, 1, 2, 3, 4,...

Соответствующие значения для х и у таковы:

x = 8 + 5 t 1 = 8, 13, 18, 23,...,
y = 1 + 3 t 1 = 1, 4, 7, 10,...

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата:

вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8 ·3 – 5 = 19,

либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:

13 ·3 – 4 ·5 = 19

и т. д.

Теоретически задача имеет бесчисленный ряд решений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений.

Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд решений:

x = 5, 8, 11,...,
y = 2, 7, 12,...

Действительно,

5 ·5 – 2 ·3 = 19,
8 ·5 – 7 ·3 = 19,
11 ·5 – 12 ·3 = 19,
...........

Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользовавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что " получать отрицательные пятирублевки" и " давать отрицательные трехрублевки", то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи:

3 х – 5 y = 19,

но при условии, что x и у – числа отрицательные. Поэтому из равенств

x = 8 + 5 t 1,
y = 1 + 3 t 1.

мы, зная, что х < 0 и у < 0, выводим:

8 + 5 t 1 < 0,
1 + 3 t 1 < 0.

и, следовательно,

.

Принимая t 1 = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у:

t 1 = –2, –3, –4,
x = –2, –7, –12,
y = –5, –8, –11.

Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель "платит минус 2 трехрублевки" и "получает минус 5 пятирублевок", т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения.

<Paaaa

Date: 2015-11-13; view: 338; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию