Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Числа 25 и 76Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково: 100 a + 76, 100 b + 76 и т. д. Перемножим два числа этого вида; получим: 10 000 аb + 7600 b + 7600 а + 5776 = Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76. Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число: 3762 = 141 376, 5763 = 191 102 976 и т. п. <Paaaa Бесконечные "числа" Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико. Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством. Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится: 100 k + 76. Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково: 1000 a + 100 k + 76, 1000 b + 100 k + 76 и т. д. Перемножим два числа этого вида; получим: 1 000 000 ab + 100 000 ak + 100 000 bk + 76 000 a + Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100 k + 76, если разность 15200 k + 5776 – (100 k + 76) = 15 100 k + 5700 = делится на 1000. Это, очевидно, будет только при k = 3. Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например: 3762 = 141 376. Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком l произведение (10 000 a + 1000 l + 376) (10 000 b + 1000 l + 376) оканчивается на 1000 l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены 752 000 l + 141 376. Произведение оканчивается на 1000 l + 376, если разность 752 000 l + 141 376 – (1 000 l + 376) = 751 000 l + 141 000 = делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9. Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д. Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим "число", у которого бесконечно много цифр: ...7109 376. Подобные "числа" можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение ("столбиком") также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр. Интересно, что написанное выше бесконечное "число" удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению x 2 = x. В самом деле, квадрат этого "числа" (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного "числа" оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры "числа" х 2, где х =... 7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что x 2 = x. Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76. [Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть найдена при помощи рассуждений; аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди приписать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому "число"...7109 376 можно получить, приписывая спереди одну за другой цифры к шестерке.] Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр: 5, 25, 625, 0625, 90625, 890 625, 2 890 625 и т. д. В результате мы сможем написать еще одно бесконечное "число" ... 2 890 625, также удовлетворяющее уравнению x 2 = x. Можно было бы показать, что это бесконечное "число" "равно" Полученный интересный результат на языке бесконечных "чисел" формулируется так: уравнение x 2 = x имеет (кроме обычных х = 0 и x = 1) два "бесконечных" решения: х =... 7 109 376 и х =... 2 890 625, а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет. [Бесконечные "числа" можно рассматривать не только в десятичной, а и в других системах счисления. Такие числа, рассматриваемые в системе счисления с основанием р, называются р -адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского "Математические беседы" (Гостехиздат, 1952).] <Paaaa
|