Мгновенное умножение

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 988² выполняется так:

988 · 988 = (988 + 12) · (988 – 12) + 12² =

= 1000 ·976 + 144 = 976 144.

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

27² = (27 + 3) (27 – 3) + 3² = 729,
63² = 66 ·60 + 3² = 3969,
18² = 20 ·16 + 2² = 324,
37² = 40 ·34 + 3² = 1369,
48² = 50 ·46 + 2² = 2304,
54² = 58 ·50 + 4² = 2916.

Далее, умножение 986 ·997 выполняется так:

986 ·997 = (986 – 3) · 1000 + 3 ·14 = 983 042.

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000 – 14) ·(1000 – 3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 · 1000 – 1000 · 14 – 1000 · 3 + 14 · 3.

Делаем преобразования:

1000 (1000 – 14) – 1000 · 3 + 14 ·3 =
= 1000 ·986 – 1000 ·3 + 14 ·3 =
= 1000 (986 – 3) + 14 ·3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя.

Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 ·787

выполняется так:

78 ·79 = 6162; 3 ·7 = 21;

результат:

616 221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) (780 + 7) =
= 780 ·780 + 780 ·3 + 780 ·7 + 3 ·7 =
= 780 ·780 + 780 ·10 + 3 ·7 =
= 780 (780 + 10) + 3 ·7 = 780 ·790 + 21 =
= 616 200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:

783 ·787 = (785 – 2) (785 + 2) = 785² – 4 = 616 225 – 4 = 616 221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

35²; 3 ·4 = 12. Отв. 1225.
65²; 6 ·7 = 42. Отв. 4225.
75²; 7 ·8 = 56. Отв. 5625.

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:

10 a + 5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100 a ² + 100 а + 25 = 100 а (а + 1) + 25.

Выражение а (а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 – все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:

и т. п.

<Paaaa