Статическая межотраслевая модель

Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства;

3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;

4) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.

При этих предположениях величина x_ij может быть представлена следующим образом:

(3.3)

Величина a_ij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты a_ij считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:

Это соотношение можно записать в матричном виде:

X = AX + Y, (3.4)

где X = (X₁, X₂,..., X_n) - вектор валовых выпусков;

Y = (y₁, y₂,..., y_n) - вектор конечного продукта;

A = -

матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;

2) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (3.4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (3.4):

X - AX = Y,

X (E - A) = Y,

X = (E - A) - ¹Y, (3.5)

где E - единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, т.е. a_ij ≥ 0, Это утверждение следует из неотрицательности величин x_ij и положительности валовых выпусков X_j.

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, т.е.

Доказать это утверждение несложно.

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. V_j>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно записать:

из соотношения (3.3):

откуда безусловно следует:

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A) - ¹ существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (3.5):

X = BY, (3.6)

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

B = E + A + A² + A³ +... (3.7)

Умножим обе части на (E - A):

B (E - A) = (E + A + A² + A³ +..) (E - A),

B (E - A) = E + A + A² + A³ +. - A - A² - A³ -...,

B (E - A) = E,

B = E / (E - A),

B = (E - A) - ¹.

Доказано.

Из соотношения (3.7) следует b_ij ≥ a_ij, Таким образом, коэффициент полных материальных затрат b_ij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a_ij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:

b_ii ≥ 1,

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.