Цель: Научиться практически определять токи в ветвях цепи

Задание:

1.

2.

Рис. 2

Основы теории:

Метод узловых напряжений широко применяется для расчета электрических цепей, в частности в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем. Метод узловых напряжений базируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, равной n_у-1. В основе этого метода лежит расчет напряжений в (n_у-1)-м узле цепи относительно базисного узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения на соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых напряжений на примере резистивной цепи, изображенной на рисунке 1 а.

1) Примем потенциал V₃ = 0 (базисный узел) и преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока (рис. 3.2 б), где i_г1 = u_г1G₁; i_г2 = u_г2G₂; i_г3 = u_г3G₃; G₁ = 1/R₁; G₂ = 1/R₂; G₃ = 1 /R ₃; G₄ = 1/R₄; G₅ = 1/R₅.

2) Составим уравнения для узлов 1 и 2 по ЗТК: -i₁ + i₂ - i₄ + i₅ = 0; i₄ + i₃ - i₂ = 0.

3) Каждый из этих токов можно выразить через узловые напряжения и токи i_г1, i_г2, i_г3:

i₁ = i_г1 - u₁G₁; i₂ = i_г2 - (u₂ - u₁)G₂; i₃ = i_г3 + u₂G₃; i₄ = (u₂ - u₁)G₄; i₅ = u₁G₅ (3.8)

Рисунок 1 - Расчёт схем по методу узловых напряжений

4) Подставив эти значения в уравнения для узлов, получим после группировки членов при u₁, и₂ и переносе i_г1, i_г2, i_г3 в правую часть:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅)u₁ - (G₂ + G₄)u₂ = i_г1 - i_г2; (3.9)

-(G₂ + G₄)u₁ + (G₂ + G₃ + G₄)u₂ = i_г2 - i_г3. (3.10)

5) Введем следующие обозначения:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅) = G₁₁; (G₂ + G₃ + G₄) = G₂₂; (G₂ + G₄) = G₁₂ = G₂₁; (3.11)

i_г1 - i_г2 = i_у1; i_г2 - i_г3 = i_у2. (3.12)

Тогда получим систему уравнений:

G₁₁u₁ - G₁₂u₂ = i_у1; (3.13)

-G₂₁u₁ + G₂₂u₂ = i_у2. (3.14)

Проводимости G₁₁ и G₂₂ представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G₁₂ = G₂₁ равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов i_у1 и i_у2 источников тока, подключенных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком “+”, если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и “-”, если от узла.

6) Решив систему относительно и₁ и u₂, определим узловые напряжения цепи. Искомые токи находим по закону Ома.

Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение в теории линейных электрических цепей. Подавляющее число методов анализа линейных цепей базируется на этом принципе. Если рассматривать напряжения и токи источников как задающие воздействия, а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию (отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения можно сформулировать следующим образом: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Принцип наложения можно использовать для нахождения реакции в линейной цепи, находящейся как под воздействием нескольких источников, так и при сложном произвольном воздействии одного источника.

Рассмотрим случай, когда в линейной цепи действует несколько источников. В соответствии с принципом наложения для нахождения тока i или напряжения u в заданной ветви осуществим поочередное воздействие каждым источником и найдем соответствующие частные реакции i_k и u_k на эти воздействия. Тогда результирующая реакция определится как

, (2.16)

где n - общее число источников.

Проиллюстрируем принцип наложения (суперпозиции) на примере резистивной цепи, изображенной на рисунке 2.7, а.

Рисунок 2.7 - Иллюстрация принципа суперпозиции

Найдем ток в резистивном элементе R₃. Положим вначале, что в цепи действует только один источник u_г1: второй источник напряжения исключается и зажимы его закорачиваются. При этом получаем частичную схему, изображенную на рисунке 2.7,б. Определим ток i₃^' от воздействия напряжения u_г1, учитывая, что и :

. (2.17)

Теперь полагаем, что в цепи действует только источник u_г2. Исключив источник u_г1, получим вторую частичную схему. Ток i₃^'' от воздействия u_г2 определится как, учитывая, что и

. (2.18)

Результирующий ток i₃ найдем как алгебраическую сумму частных токов : i₃ = i₃^' + i₃^'' . При определении результирующих токов знак “+” берут у частных токов, совпадающих с выбранным положительным направлением результирующего тока, и знак “—” - у несовпадающих. Как следует из рассмотренного примера, при составлении частичных электрических схем исключаемые идеальные источники напряжения закорачиваются. В случае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротивлениями R_г, при их исключении они заменяются своими внутренними сопротивлениями R_г.

При наличии идеальных источников тока соответствующие ветви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реальных источников они заменяются своими внутренними проводимостями G_г.

Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы, применение принципа наложения позволяет разложить это воздействие на сумму простейших и найти реакцию цепи на каждое из них в отдельности с последующим наложением полученных результатов.