Произведение комплексных чисел

z ₁= a + bi * z₂ = c + di называется комплексное число z = (ac-bd) + (ad + bc)i, z₁z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (слайд 12).

Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i² на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a + bi)(a - bi) = a² + b²

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:

(a + bi):(c + di) = = = + i. (6)

Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Действительно,

i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = -i.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i ^{2 ­} = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a² + b ²

Пример 3. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.