Розв’язування системи рівнянь методом Крамера

Вирішимо систему методом Крамера.

Складемо допоміжні матриці для обчислення визначників D1, D2, D3. Для визначника D1 в діапазон D15: F17 скопіюємо матрицю системи (діапазон А2:D4) і змінимо перший стовпчик (D15: D 17) на стовпчик вільних членів D2: D4. Аналогічно складаємо допоміжні матриці для визначників D2, D3, (діапазони D19: F21 і D23: F25 відповідно) замінюючи у матриці системи 2-й та 3-й стовпчики також відповідно.

Знайдемо визначник матриці.

Для цього у осередок В15 введемо формулу = МОПРЕД (D15: F17),

Знайдемо визначники допоміжних матриць.

У осередок В16 введемо формулу = МОПРЕД (D15: F17),

У осередок В17 введемо формулу = МОПРЕД (D19: F21).

У осередок В18 введемо формулу = МОПРЕД (D23: F25).

Знайдемо корінь рівняння, для цього в осередок В21 введемо: = В16 / $ B $ 15, в осередок В22 введемо: = B17 / $ B $ 15, в осередок В23 введемо: == B18 / $ B $ 15.

Отримаємо корені рівняння:

Метод Гаусса (Excel)

Нехай задана система рівнянь

Крок другий 1.

Запишемо коефіцієнти системи рівнянь в осередки A1:С4 а стовпець вільних членів в осередки Е1:Е4. Якщо у комірці А1 знаходиться 0, необхідно поміняти рядки місцями так, щоб в цьому осередку було відмінне від нуля значення. Для більшої наочності можна додати заливку осередків, в яких знаходяться вільні члени.

2. Необхідно коефіцієнт при x1 у всіх рівняннях крім першого призвести до 0. Для початку зробимо це для другого рівняння. Скопіюємо перший рядок в осередки А6: Е6 без змін, в осередки А7: Е7 необхідно ввести формулу: = {А2: E2- $ A $ 1: $ E $ 1 * (А2 / $ A $ 1)}. Таким чином ми від другого рядка віднімаємо перший, помножений на А2 / $ A $ 1, тобто відношення перших коефіцієнтів другого і першого рівнянь. Для зручності заповнення рядків 8 і 9 посилання на осередки першого рядка необхідно використовувати абсолютні (використовуємо символ $).

Крок другий

3. Копіюємо введену формулу в рядки 8 та 9, таким чином позбавляємося від коефіцієнтів перед x1 у всіх рівняннях крім першого.

Крок третій

4. Тепер зведемо коефіцієнти перед х2 в третьому і четвертому рівнянні до 0. Для цього скопіюємо отримані 6-й і 7-й рядки (тільки значення) в рядки 11 і 12, а в осередки A13: E13 введемо формулу {= A8: E8 - $ A $ 7: $ E $ 7 * (В8 / $ B $ 7)}, яку потім скопіюємо в осередки А14: Е14. Таким чином реалізується різницю рядків 8 і 7, помножених на коефіцієнт B8 / $ B $ 7. Не забуваємо проводити перестановку рядків, щоб позбутися від 0 в знаменнику дробу.

Крок четвертий

5. Залишилося привести коефіцієнт при х3 в четвертому рівнянні до 0, для цього знову проробимо аналогічні дії: скопіюємо отримані 11, 12 і 13-у рядки (тільки значення) в рядки 16-18, а в осередку А19: Е19 введемо формулу = { A14: E14- $ A $ 13: $ E $ 13 * (С14 / $ C $ 13)}. Таким чином реалізується різниця рядків 14 і 13, помножених на коефіцієнт С14 / $ С $ 13. Не забуваємо проводити перестановку рядків, щоб позбутися від 0 в знаменнику дробу.

Крок п'ятий

6. Пряма прогонка методом Гаусса завершена. Зворотну прогонку почнемо з останнього рядка отриманої матриці. Необхідно всі елементи останнього рядка розділити на коефіцієнт при x4. Для цього в рядок 24 введемо формулу {= А19: Е19 / D19}.

Крок шостий

7. Зведемо всі рядки до подібного виду, для цього заповнимо рядки 23, 22, 21 наступними формулами:

23: {= (А18: Е18-А24: Е24 * D18) / С18} - віднімаємо від третього рядка четверту помножену на коефіцієнт при x4 третього рядка.

22: {= (А17: Е17-А23: Е23 * С17-А24: Е24 * D17) / В17} - від другого рядка віднімаємо третю і четверту, помножені на відповідні коефіцієнти.

21: {= (А16: Е16-А22: Е22 * В16-А23: Е23 * С16-А24: Е24 * D16) / А16} - від першого рядка віднімаємо другу, третю і четверту, помножені на відповідні коефіцієнти.

Результат (корені рівняння) обчислені в осередках E21: E24.