Поверхность вращения

Пусть линия L, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями

(12)

Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии отно­сительно оси Оz (рис. 6). (Текущие координаты линии L мы обозначаем большими буквами X, Y в Z, чтобы отличить их от текущих координат х, у, z поверхности вращения.)

Эта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее уравнение. Пусть М (х; у; z) - произвольно выбранная точка поверхности вращения. Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения этой плоскости с осью Oz и кривой L соответственно через К и N. Отрезки КМ и KN являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому КМ = KN. Но длина отрезка KN равна абсолютной величине ординаты Y точки N, т. е. KN = |Y|, a KM = OP = . Следовательно,

| Y |= или Y = . Кроме того, аппликата Z точки N, очевидно, равна аппликате z точки М.

Так как точка N лежит на линии L, заданной уравнениями (12), то координаты Y и Z точки N удовлетворяют второму из этих уравнений. Подставляя в него вместо Y и Z, соответственно, равные им величины и z, получим уравнение:

, (13)

которому удовлетворяют координаты любой точки М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (13) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (13) является уравнением поверхности вращения относительно оси Оz линии L, определяемой уравнениями (12). Уравнение (13) получается из второго уравнения системы (12) заменой в нем координат Y и Z координатами х, у и z по формулам:

(14)

Замечание. Мы считали, что кривая L задана в плоскости Oyz и вращается относительно оси Oz. Однако кривая L может быть задана и в другой координатной плоскости и может вращаться относительно другой координатной оси. Формулы, подобные формулам (12), (13) и (14), легко составить.

Пример. Найти уравнение поверхности вращения эллипса

относительно оси Оz.

Решение. Записав уравнение эллипса в виде

и заменяя в нем по формулам (14) Y и Z текущими координатами х, у и z поверхности вращения, получим искомое уравнение , или

.

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения.

5. Эллипсоид.

Поверхность, определяемая уравнением

. (15)

Называется эллипсоидом. Числа а, b и с называются полуосями эллип­соида. Так как в уравнение (15) текущие координаты входят в чет­ных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Покажем, что если пересечь эллипсоид плоскостью z = h (| h | < с), то в сечении получится эллипс L. В самом деле, исключая из уравнений

аппликату z, получим уравнение цилиндрической поверхности, проектирующей сечение L на пло­скость Оху:

, или

Рис..7.

Из этого уравнения видно, что кривая L есть эллипс с полуосями

, . (16)

Из формул (16) видно, что с возрастанием |h| полуоси эллипса а и b уменьшаются. При |h|=c имеем , и сечение вырождается в точку. При | h|>с эллипсоид с плоскостью z = h, очевидно, не пересекается. Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями х = h (| h | < а и y = h (| h | < b) также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. 7. В частном случае при а = b получаем эллипсоид вращения

. (17)

Если все три полуоси равны между собой, с = b = а, то получится сфера + y² + z² = а ².