Цилиндрические поверхности

Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных дан­ной прямой l, называется цилиндрической поверхностью. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей. В дальнейшем мы будем рассмат­ривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение:

F(x,y)=0, (4)

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллель­ными оси Oz, и направляющей L. Покажем, что уравнение этой поверхности есть уравнение (4), если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz. Пусть М (х; у; z) -любая фиксиро­ванная точка построенной цилиндрической поверхности. Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, прохо­дящей через точку М. Точка N, очевидно, есть проекция точки М на плоскость Оху. Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абс­циссу х и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кри­вой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (4) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и коорди­наты точки М (х; у; z), так как оно не содержит z. Таким образом, координаты любой точки М (х; у;z) данной цилиндрической поверх­ности удовлетворяют уравнению (4). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (4) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость Оху вне кривой L. Таким образом, не содержащее z уравнение F(x, y) = 0, если его отнести к системе координат в пространстве Oxyz, является урав­нением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей L, которая в плоскости Оху задается тем же уравнением F (х, у) = 0.

В пространстве Оху направляющая L определяется системой двух уравнений:

(5)

Рис.1.

Алогично можно показать, что уравнение F (x, z) = 0, не содер­жащее у, и уравнение F (у, z) = 0, не содержащее х, определяют в пространстве Oxyz цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Оу и Ох.

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

. (6)

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 2). Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является эллипс с полуосями а и Ь, лежащий в плоскости Оху. В частности, если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

х² + у² = а².

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

. (7)

называется гиперболическим цилиндром (рис. 3). Образующие этой поверхности параллельны оси Оу, а направляющей служит расположенная в плоскости Охz гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

Рис.2 Рис.3

Рис.4.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

= 2pz, (8)

Называется параболическим цилиндром (рис.4). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости Oyz, а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой. Например, окружность С, получающаяся в сечении плоскостью z = 3 сферы = 25, может быть задана системой уравнений

(9)

С другой стороны, эта окружность может быть получена как линия пересечения плоскости z = 3 и прямого кругового цилиндра .

В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с по­мощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не разбудем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проекти­рующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и о форме исследуемых поверхностей.