I. Уравнение поверхности

Урав­нение F(x, y) = 0 определяет на плоскости некото­рую линию, т. е. множество всех точек плоскости Оху, координаты которых х и у удовлетворяют этому уравнению. Подобно этому уравнение

F(x,y,z) = 0, (1) определяет в пространстве Охуz некоторую поверх­ность, т. е. множество всех точек, координаты которых х, у, z удовлетворяют уравнению F(x, у, z) = 0. Уравнение (1) называется уравнением этой поверхности, а х, у, z — ее текущими координатами. Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как мно- ­жество всех точек, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из ее гео­метрических свойств.

Пример. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке

Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее точки М (х,у, z) от центра равно радиусу R, т. е. M=R. Но

Следовательно, или

(2)

Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлетворяют коорди­наты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы примет следующий вид:

.

Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения (2), получим

Это уравнение второй степени относительно текущих координат х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат, а коэффициенты при х² , у² и z² равны между собой. Любое уравне­ние второй степени относительно х, у и z, в котором коэффициенты при х², y² и z ² равны между собой, а член с произведением коор­динат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее, такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда может быть приведено к виду:

. (3)

Если при этом >0, то уравнение (3) является уравнением сферы с центром в точке и радиусом R = . При k = 0 урав­нению удовлетворяют координаты лишь одной точки . Если же <0, то уравнение не определяет никакой поверхности.

Пример. Доказать, что уравнение

является уравнением сферы, и найти центр и радиус этой сферы.

Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, полу- чим

или .

Мы получили уравнение сферы с центром в точке О(1; - 2; - 3) и радиусом R = 4.