Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 3 pageи, таким образом,
P
§ 6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.
Общее уравнение линии 2 – го порядка на плоскости имеет вид: (1) Для анализа этого уравнения нам понадобится понятие пре- образования координат на плоскости. 1. Параллельный перенос: пусть - старые координа- ты, а - новые координаты, полученные переносом на- чала координат из точки в точку .
Для произвольной точки получим (2) и (3) (2) - это формулы перехода от старых координат к новым, (3) - формулы обратного перехода. Параллельный позволяет убрать в уравнении (1) линейные слагаемые (т.е. слагаемые ). 2. Поворот осей координат на угол .
Из построения видно, что Таким образом, получены формулы перехода от старых коор -динат к новым: (4) Аналогичным образом можно получить формулы обратного перехода от новых координат к старым при повороте системы координат: (5) С помощью поворота системы координат избавляются от произведения в уравнении (1). После преобразования уравнения (1) с помощью переноса и поворота системы координат, можем получить следующие уравнения: , или Рассмотрим сначала уравнение : 1. Если , то имеем уравнение эллиптического типа, причём, в случае , уравнение определяет эллипс (или окружность при ; если же , то уравнение определяет мнимый эллипс (или мнимую окружность); если , то данное определение задаёт точку. 2. Если , то имеем уравнение гиперболического ти- па, при этом, если , уравнение определяет гипербо- лу, если - сопряжённую гиперболу, если , то уравнение определяет две скрещивающиеся прямые. Уравнения вида параболического типа. Определяют либо параболы, направленные или по оси , или по оси , либо две параллелельные прямые (если , то прямые параллельны оси ; если - то прямые параллельны оси ).
Рассмотрим теперь основные линии 2 – го порядка. 1. Окружность - это геометрическое место точек равноу- далённых от данной точки, называемой её центром. Не име- ет смысла подробно останавливаться на рассмотрении этой линии, так как её уравнения хорошо известны из школьного курса математики: - окружность с центром в начале координат, или смещённая окружность с центром в точке : . 2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место то- чек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Введём систему координат следующим образом: пусть ось проходит через фокусы данной линии, а ось делит отрезок пополам и перпендикулярна оси .
фокусы, расстояние между ними , Тогда, по определению, Запишем данное равенство, используя формулу расстояния между точками: Правую и левую часть равенства возведём в квадрат и раскроем скобки: После преобразования имеем Возводя полученное равенство в квадрат, получаем: или . По определению, . Тогда существует единственное число , такое что . Получаем: . Окончательно, равенство: (6) определяет каноническое уравнение эллипса. Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат. Следовательно, достаточно построить график в первой четверти () и симмет- рично отобразить его в другие координатные плоскости. Оче- видно, что , . Построим линию:
Величины и называются большой и малойполуоями эллипса, при этом расстояние от начала координат до фокусов равно . Величина называется эксцентриситетом и характеризует вытянутость эллипса. Для эллипса . В случае , эллипс превращается в окружность. Может оказаться, что , и тогда большая полуось - это . В этом случае, , эксцентриситет и, так как фокусы всегда находятся на больших полуосях, то они имеют следующие координаты: . Получаем следующий рисунок.
Оптическое свойство эллипса. Если источник света поме-щён в один из фокусов эллипса, то отражённый луч попадает в другой фокус.
Рассмотрим пример. привести уравнение линии к каноничес- кому виду и построить эту линию: . Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты: Получили каноническое уравнение эллипса в смещённой сис- теме координат , начало отсчёта кото –рой имеет координаты: : . Полуоси этого эллипса: . Тогда её эксцентриситет . Построим линию.
O 2 x
-6 6
-3 3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое мес- то точек, для которых модуль разности расстояний до двух точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
По определению, . Тогда Возведём это равенство в квадрат: Раскроем скобки и изолируем корень:
Возведём в квадрат полученное равенство и раскроем скобки: . Но, по определению гипер- болы, и получается: . Разделив это равенство на правую часть, получаем каноническое уравнение гиперболы: . (7) Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат и относительно начала координат. Следавательно, достаточно построить график в первой чет- верти () и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Из данного уравнения видим, что оно имеет смысл только в случае, если . возрастает по мере увеличения и причём график линии по мере увели- чения приближается к прямой , не пересекая эту прямую. Эта прямая является асимптотой данной линии.
Ввиду симметрии, гипербола имеет две асимптоты: . Построим гиперболу:
Асимптоты гиперболы - это прямые, проходящие через диаго -нали основного прямоугольника со сторонами, раными и , соответственно. В уравнении (7), называется действительной полуосью ги- перболы, - мнимой полуосью. В результате преобразований уравнения второго порядка мы можем получить также уравне- ние следующего вида: (8) Оно задаёт уравнение сопряжённой гиперболы, которая выгля- дит следующим образом:
Для сопряжённой гиперболы - мнимая полуось, - действительная полуось. Сопряжённая гипербола имеет те же асимптоты . Как для случая гиперболы, так и для случая сопряжённой гиперболы, полуфокусное расстояние равно: . Для случая гиперболы, фокусы имеют коорди –наты: , для случая сопряжённой гиперболы: , т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен , а сопряжённой гиперболы - , но в в обоих случаях . Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы опре -деляет форму основного прямоугольника.
Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию: Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты: Разделим полученное равенство на 36: Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещён- ным в точку . Для данной гиперболы , . Эксцентриситет гиперболы равен . Её асимптоты имеют уравнения Построим эту линию
-1
-2
Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими ка- ноническими уравнениями:
можно задать уравнения прямых, которые называются ди -ректрисами, с помощью уравнений (для случая эллипса с большей полуосью и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: ). В случае эллипса:
|