Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 2 page
§ 4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Любую прямую в пространстве можно задать пересечением двух не параллельных плоскостей, т.е. система двух уравне -ний плоскостей представляет собой общиеуравнения прямой, которая получается при их пересечении: (1) Здесь и - не коллинеарные нормальнве векторы данных плоскостей, т.е. их координаты не пропорциональны. Иначе уравнение прямой можно задать следующим образом:
- фиксированная точка данной прямой, - текущая точка прямой, - направляя- ющий вектор прямой. Тогда уравнение прямой получается из условия коллинеарности (т.е. пропорциональности) векторов и , т.е. по формуле: (2) Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой. В частности, если на прямой заданы две точки и , то в качестве направляющего вектора можем взять вектор и уравнение прямой в этом случае принимает вид: (3) Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точки . По формуле (3), получаем: . Если в равенстве (2) введём параметр , то получим параметрическое уравнение данной прямой: (4) Переход от общих уравнений к каноническим выполняется следующим образом: из рисунка
видим, что направляющий вектор прямой (как вектор, лежащий в соответствующих плоскостях) можно найти через векторное произведение векторов, т.е., если прямая задана общими уравнениями: (5) и , , то . Но для того, чтобы написать каноническое уравнение пря -мой, необходимо знать какую – нибудь точку на данной пря -мой. Чтобы найти какую – нибудь точку, в системе (5) зафиксируем одну координату, например, положим , а остальные две найдём как решение системы. Рассмотрим пример: Написать канонические уравнения прямой: Теперь найдём какую – нибудь точку на этой прямой. В данном примере удобно положить . Получаем систему: Сложим эти уравнения: тогда и точка лежит на прямой, следовательно, её кано- нические уравнения можно записать в виде:
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами, т.е. для прямых с направ– ляющими векторами : Если прямые параллельны, то и получаем условие параллельности прямых: . Если прямые перпендикулярны, то и из условия ортогональности векторов получаем условие перпендикуляр -ности прямых: Пример. Доказать перпендикулярность прямых: и Направляющий вектор первой прямой: ; на –правляющий вектор второй прямой: , где . Тогда т.е. . Проверим условие перпендикулярности плос- костей: . Направляющие векторы ортогональны, следовательно, прямые перпендикулярны.
§ 5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая и плоскость в пространстве могут быть либо парал- лельными, либо пересекаться. Пусть заданы уравнения плоскости и прямой . Нормальный вектор плоскости , направляющий вектор прямой: . Если прямая параллельна плоскости, то её на- правляющий вектор ортогонален нормальному вектору плос - кости:
т.е. и, из условия ортогональности векторов: . (1) Если прямая перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору прямой:
Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости: , или . (2) Угол между прямой и плоскостью можно определить следу- ющим образом:
Из чертежа видно, что . Но . Тогда (3) - угол между прямой и плоскостью в пространстве. Рассмотрим примеры: 1. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки: и прямой . Нормальный вектор плоскости ищется, как векторное произведение векторов: Направляющий вектор прямой . Тогда, по формуле (3), Тогда . 2. При каком значении прямая параллельна плоскости ? Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости . Тогда, по условию (1), пря- мая параллельна плоскости, если Тогда Следующая задача, связанная с взаимным расположением прямой и плоскости в пространстве - это задача: найти точку пересечения прямой и плоскости Чтобы решить эту задачу, следует записать уравнение пря- тмой в параметрической форме, т.е. и, подставив значения переменных в уравнение плоскости , найти значение параметра в точке пересечения. После этого можно найти значения координат точки пересечения. Пример 3. Найти точку пересечения плоскости и прямой . Запишем параметрические уравнения прямой: (4) и подставим данные значения в уравнения плоскости. Получим Тогда точка пересечения имеет координаты: т.е. Расстояние от точки до прямой. Чтобы найти расстояние от точки до прямой , следует написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной прямой; найти точку пересечения полученной плоскости и данной прямой; и после этого найти расстояние от этой точки пересечения до точки . Пример 4. Найти расстояние от точки до прямой .
Нормальный вектор плоскости, перпендикулярной прямой , совпадает с направляющим вектором прямой, т.е. , Тогда уравнение плоскости имеет вид: или . Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости напишем пераметрическое уравнение прямой . Подставив значения неизвестных в уравнение плоскости , найдём значение параметра в точке пересечения: Тогда точка имеет координаты: т.е. . Расстояние от точки до прямой найдём как длину отрезка .
Для определения расстояния от точки до прямой можно выбрать и другой способ. Рассмотрим рисунок:
Площадь этого параллелограмма равна , или . Приравняв эти выражения, получим формулу для расстояния от точки до прямой: . (5) Решим пример (4) этим способом:
Тогда, по формуле (5), Вторым способом получили тот же результат.
Следующие две задачи: написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, рассмотрим на примерах.
Пример 5. Проверить параллельность прямых и написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые: Направляющий вектор первой прямой: ; на- правляющий вектор второй прямой - . Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональ- ны, следовательно . Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Координаты точек получаем из уравнений соответствующих прямых. Нормальный вектор плоскости равен , где . Тогда В качестве фиксированной точки плоскости можем взять, например, точку , лежащую на первой прямой. В резуль -тате получаем следующее уравнение плоскости: , Или Пример 6. Проверить, что прямые пересекаются и напи -сать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые: Для данных прямых
P
Точки лежащие на этих прямых: , тогда . Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы компланарны, и их смешанное произведение равно нулю, т.е. . В нашем случае, Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Нормаль -ный вектор этой плоскости: Тогда уравнение плоскости имеет вид: , или
Расстояние между скрещивающимися прямыми: , с направляющими векторами , , проходящими через точки и можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векторах .
Объём этого параллелепипеда равен: . С другой стороны этот же объём равен: . Тогда (6)
Пример 7. Доказать, что прямые: скрещиваются и найти расстояние между ними. Если прямые скрещиваются, то . вектор . Следовательно, прямые скрещиваются. Найдём расстояние между ними. Для этого найдём ещё: . Тогда В заключение, решим ещё один пример. Пример 8. Найти точку , симметричную данной точке относительно плоскости: С этой целью, запишем уравнение прямой , перпендику- лярной данной плоскости, проходящей через точку . Её направляющий вектор можем считать равным нормальному вектору заданной плоскости, т.е. . Тогда уравнения этой прямой имеют вид: , или её параметрические уравнения: Найдём точку пересечения данной прямой с исходной плоскостью, т.е. найдём значение параметра в точке пересечения: Тогда точка пересечения прямой и плоскости имеет коорди- наты: . Точку, симметричную точке от- носительно плоскости можно найти из того условия, что точка - середина отрезка . Следовательно,
|