Определение 1. Совокупность Аn всех n – мерных векторов называется n – мерным векторным пространством (арифметическим или числовым)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Векторные (линейные) пространства.

1. Арифметическое n - мерное векторное (линейное)

Пространство An.

Пусть дано произвольное натуральное число n. Будем называть любой набор из n действительных чисел, данных в определенном порядке: (x₁, x₂, …, x_n), n -мерным вектором = (x₁, x₂, …, x_n), сами числа х₁, х₂, … х_n называть координатами вектора х.

Определение 1. Совокупность Аn всех n – мерных векторов называется n – мерным векторным пространством (арифметическим или числовым).

Эта математическая модель может описывать количественно различные вещи. При n = 1, 2, 3 – координаты точек прямой, плоскости или реального пространства. Если возраст, рост, вес ребенка – 7 лет, 1,1 м, 35 кг соответственно, то эти характеристики могут быть представлены как вектор (точка) (7; 1,1; 35) в 3 – мерном пространстве. Более распространены конструкции однородных данных. Предположим возраст четверых детей – 7, 5, 6 и 5 лет. Эти данные могут быть представлены как точка (вектор) с координатами =(7, 5, 6, 5) в четырехмерном пространстве.

Определим в этом пространстве некоторые операции. Суммой двух векторов и = (у₁, у₂, …, у_n) будем называть вектор:

+ = (х₁ + у₁, х₂ + у₂, …, х _n+ y_n) (1)

Произведением вектора на число l R будем называть вектор

l =(lх₁, lх₂, …, lх_n) (2)

Нулевым вектором называется вектор =(0, 0, … 0). Это единственный вектор, удовлетворяющий для любого вектора условию + = .

Вектором, противоположным вектору =(х₁, х₂, … х_n), назовем вектор =(-х₁, , … -х_n); это единственный вектор удовлетворяющий условию +()= .

Векторы , назовем равными, если равны их соответствующие координаты: х₁ = у₁, х₂ = у₂, …, х_n = y_n.

Определенные таким образом линейные операции над векторами обладают всеми алгебраическими свойствами, присущими числам, (коммутативность и ассоциативность сложения, свойства дистрибутивности умножения на число и т.д.). В частности, верны формулы: 1× = , 0× = , (-1)× = - . Это позволяет определять линейные комбинации векторов , вида a + b , где a, b - произвольные вещественные числа.

Пример 1. Если =(-2, 3, 1, 0), =(1, 0, 4, -3), то 2 –3 =2 (-2, 3, 1, 0,)–3 (1, 0, 4, -3)=(-4, 6, 2, 0)–(3, 0, 12, -9)=(-7, 6, -10, 9).