Тема 5.1. Запись целых неотрицательных чисел

Основные понятия и термины по теме: система счисления, позиционные и непозиционные системы счисления.

План изучения темы:

1. Позиционные и непозиционные системы счисления.

2. Запись чисел в десятичной системе счисления.

3. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.

Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Системой счисления называется язык для наименования (устная нумерация) и записи (письменная нумерация) чисел, а также для вы­полнения действий над ними.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каж­дый знак из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, всегда обозначает одной то же число независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Приме­ром такой системы может послужить римская нумерация, возникшая в средние века Основной принцип, используемый в этой системе счисления, -каждая используемая буква всегда означает одно и то же число неза­висимо от того, где эта буква размещается в числе.

Одним из недостатков непозиционной системы счисления является потребность введения новых знаков для записи больших чисел. Другим недостатком непозиционной системы является сложность выполнения арифметических операций.

Особенностью позиционных систем счисления является то, что один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого данным знаком в записи числа Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления явля­ются позиционными.

Основное достоинство позиционных систем счисления - простота выполнения арифметических операций, ограниченное количество симво­лов, необходимых для записи любых чисел.

2.Запись чисел в десятичной системе счисления.

Общепринятой считается десятичная позиционная система, берущая своё начало от счёта на пальцах. Она была изобретена в Индии, заим­ствована Арабами и уже через арабские страны пришла в Европу.

В этой системе для записи любого числа используется лишь десять знаков (цифр):

{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

множество которых составляет алфавит этого языка.

Всякая конечная последовательность цифр алфавита-слово этого языка- обозначает число, являясь условной, краткой записью более сложного выражения, составленного по определённому правилу, отра­жающему позиционный принцип, при котором значение каждой цифры определяется как ею самой, так и занимаемым ею местом (позицией).

Например, слово «3785» обозначает число, полученное как резуль­тат выполнения всех операций в выражении

3-1000+7-100+8-10+5

или

3-10³+7-10²+8-10+5,

т. е. является краткой записью суммы произведений последовательных степеней числа 10 (основания системы счисления) на числа, каждое из которых меньше 10.

3.Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.

Возможны позиционные системы счисления и с осно­ванием, отличным от десяти. Например, в древнем Вавилоне была рас­пространена система с основанием 60.

Запись числа в системе счисления с основанием р называют также p-ичным числом. Так, говоря, «десятичное», «пятеричное», «восьмерич­ное», «двоичное» число, мы имеем в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, восьмеричной, двоичной системе счисления.

Для записи числа в позиционной системе счисления, как видно, требуется столько различных знаков (цифр), сколько единиц в основа­нии системы. Иными словами, алфавит позиционной системы счисле­ния с основанием р должен содержать различные обозначения чисел

0, 1,2, …, р-1.

Но можно ли всякое, например, целое, число записать в любой системе счисления. На примере покажем, что можно.

Например, десятичное число 1766 запишется на языке пяте­ричной системы счисления в виде слова «24031», т. е.

1766 = 24031(₅).

Индекс (₅) указывает на то, что это запись числа в пятеричной сис­теме счисления; при десятичном числе индекс обычно опускается.