Задание линейного оператора

Рассмотрим произвольный вектор векторного пространства V ². Выясним, как связаны относительно исходного базиса координаты вектора и вектора φ . Пусть ; φ = .

Но φ = . Чтобы найти зависимость координат вектора и образа этого вектора относительно исходного базиса, нужно знать, каковы образы базисных векторов.

Пусть =φ (а ₁₁; а ₂₁)= а ₁₁ + а ₂₁ , а (а ₁₂; а ₂₂)= а ₁₂ + а ₂₂ .

Итак, j

Получены формулы оператора j, записаны они при помощи матрицы А = . Её столбцы – координаты образов исходного базиса (первый столбец – координаты вектора , второй столбец – вектора ) в этом операторе. Очевидно, что оператор j может быть задан матрицей А. Будем в дельнейшем ее обозначать А _j:

А _j= .

Примеры линейных операторов:

1. Осевая симметрия плоскости с осью l = OX, т.е. S_ox =j: , при этом , где . Значит, А _j= .

(X; Y); =(X; – Y) j= S_{o X} :

2. Поворот плоскости вокруг начала прямоугольной декартовой системы координат на угол a: j= :

т.к. ,

.

Итак, А _j= .