Умножение матрицы на число

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

(1)

Решение методом исключения переменных.

1 шаг (исключаем y). Помножим 1-ое уравнение на , второе уравнение – на и из первого вычтем второе:

(2)

2 шаг (исключаем х). По аналогичной схеме:

(3)

Выражения для х, у справедливы, если знаменатель В этом случае имеем единственное решение системы (1).

В противном случае система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

Примеры. Решить системы уравнений.

По формулам (2), (3) находим:

Знаменатель не равен 0 и найденное решение единственно.

Знаменатель и числитель в выражении по формулам(2),(3)равны 0.

В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Как видим, второе уравнение получается из первого умножением на 2.

В соответствии с формулами (2), (3):

В этом случае система не имеет решений (несовместна). Действительно, домножим первое уравнение на 2:

Пришли к противоречию.

Решение системы (1) можно представить в другом виде. Рассмотрим основную матрицу коэффициентов системы:

(4)

Определителем матрицы А называетсячисло

Как видим, его значение совпадает со знаменателем выражений (2), (3).

Введем вспомогательные матрицы:

(5)

Здесь столбец коэффициентов при х (соответственно – у) заменяется на столбец свободных членов.

Определители матриц:

;

(6)

соответствуют числителям в выражениях (2), (3).

Во введенных обозначениях решение системы (1) перепишется:

Такой ход решения системы (1) соответствует методу (или правилу) Крамера и естественно обобщается на трехмерный (и более мерный) случай.

Система линейных алгебраических уравнений в трехмерном случае:

(7)

Основная матрица коэффициентов системы имеет вид:

Ее определитель будем вычислять в соответствии со схемой:

(8)

(+) (–)

Со знаком «+» берутся произведения элементов, соединенных по левой схеме, со знаком «‑» - по правой.

Вспомогательные матрицы определяются как и в 2-мерном случае:

Их определители считаются в соответствии со схемой (8).