Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из разнородных материалов





В предыдущих разделах мы показали примеры расчета однородных конструкций выполненных из одного материала, то есть таких конструкций, у которых упругие и диссипативные характеристики постоянны и одинаковы для всех элементов. В случаях, когда конструкция выполнена из элементов, материал которых различен, упругие свойства (различные модули упругости) легко учитываются при формировании матрицы жесткости конструкции К. Диссипативные свойства конструкции учесть сложнее. Если для однородной конструкции при разложении уравнения движения по собственным формам было установлено, что диссипативный член в уравнении движения можно заменить величиной , в котором есть коэффициент потерь материала конструкции. Напомним как была получена эта формула.

 

Для учета диссипативных сил в уравнение движения рамы введем диссипативный член: , получим

, (5.33)

где Г – диссипативная матрица.

Для того чтобы применить к уравнению (5.33) метод разложения по собственным формам необходимо, чтобы матрица Г имела те же самые собственные векторы , что и матрицы m и K, то есть матрица . Это значит, что , где - диагональная матрица. В качестве такой матрицы может быть принята любая функция матрицы : . Поскольку собственные числа матрицы представляют собой квадраты собственных частот колебаний p, то . Представим в виде разложения в ряд Маклорена:

,

Сохраним в этом разложении первый ненулевой член, т.е. примем

.

Постоянную величину обозначим , тогда

. (5.34)

Поскольку , то и .

Таким образом, уравнение движения (5.33) для однородных систем (выполненных из одного материала) примет вид:

. (5.53)

Для неоднородных систем, используя соотношения линейной вязко-упругости для гармонических колебаний согласно принципу Больцмана Вольтера можно записать

, (5.54)

где - соответственно действительная и мнимая часть комплексной жесткости, которую можно вычислить, если использовать комплексные модули упругости .

В работе [9] приводится значение коэффициента потерь

, (5.55)

то есть, вместо для каждого j -го элемента, можно подставлять .

Действительная часть комплексного модуля - медленно меняющаяся функция частоты и для частот учитываемых в практических расчетах конструкций можно принять

, (5.56)

тогда . Мнимая часть комплексной жесткости вычисляется с учетом (5.55), (5.56). Уравнение (5.54) можно записать в виде

, (5.57)

или , (5.58)

где . (5.59)

Определим функцию . Найдем собственные значения матрицы :

,

где - собственные числа и - собственные формы матрицы . В качестве функции примем функцию, значения которой в точках равны .

Решение уравнения (5.58) ищем в виде разложения по собственным формам матрицы K:

, (5.60)

тогда

.

Учитывая, что

, , ,

получим

. (5.61)

При значениях (j=1,2,…n) получим систему уравнений:

, j=1,2,…n.

Последнее выражение можно переписать с учетом того, что :

, j=1,2,…n.

Возвращаясь к матричной записи, получим

.

С учетом того, что

, , , ,

получим в результате последовательных преобразований:

,

,

.

После сокращения на и умножения на находим:

.

Так как

окончательно получим:

. (5.62)

Формула (5.62) дает точные результаты в резонансных режимах колебаний (при ). В нерезонансных областях влияние затухания колебаний незначительно, поэтому результаты, доставляемые этой формулой также можно считать практически точными.

Функция затухания есть функция, аппроксимирующая собственные значения матрицы , в которой формируется также как матрица жесткости с заменой в ней упругих постоянных произведениями коэффициентов потерь на упругие постоянные материалов элементов.

Для примера рассмотрим раму, показанную на рис.5.28, при действии горизонтальной, гармонической силы .

Стойки рамы выполнены из предварительно напряженного железобетона, ригель стальной. Найдем амплитуды перемещений узлов и амплитуды изгибающих моментов в сечениях 1–6,

Расчет выполним, используя программный пакет Maple.

> restart;

Исходные данные: n - количество неизвестных, mm - распределенная масса в H/м,

L - размер в м (высота стойки), P0 - амплитуда нагрузки kH, gammaст - коэффициент потерь материала стойки, gammaр - коэффициент потерь материала ригеля,

gamma1 - относительный коэффициент потерь при низких частотах колебаний (0 - 5 гц), gamma2 - относительный коэффициент потерь при высоких частотах колебаний (>= 10 гц).

> n1:=3: n:=3: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gamma2:=1.: gamma1:=1.: gammaст:=0.025: gammaр:=0.01:

> with(LinearAlgebra):

> m:=Matrix(n,n,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):

Вычисление собственных векторов матрицы m:

> gam:=proc(omega)

> global gamma1,gamma2,n;

> gamma1+Heaviside(omega-10*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-10.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)))-Heaviside(omega-20.*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-20.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)));

> RETURN(%);

> end:

> plot(gam(x),x=0..100):

> sortirovka:=proc(Fi,sch)

> local i,j,k,bb,S: global n:

> for i from 1 by 1 to n-1 do

> for j from i+1 by 1 to n do

> if sch[j,1]<sch[i,1] then

> bb:=sch[j,1];

> sch[j,1]:=sch[i,1];

> sch[i,1]:=bb;

> for k from 1 to n do

> S[j]:=Fi[k,j];

> Fi[k,j]:=Fi[k,i];

> Fi[k,i]:=S[j];

> end do;

> else

> next;

> end if;

> end do;

> end do;

> end:

> Fi:=Matrix(n,n,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):

Вычисление собственных чисел матрицы m:

> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):

Матрица собственных чисел матрицы m:

> lambdaM:=Matrix(n,n,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]):

Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m:

> lambdaM05:=Matrix(n,n,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):

Квадратный корень из матрицы m:

> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):

Квадратный корень из обратной матрицы m:

> m_05:=Matrix(n,n,m05^(-1),datatype=float[4]):

Жесткость EI:

> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):

Матрица жесткости рамы:

> K:=Matrix(n,n,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]):

Матрица Km:

> Km:=Matrix(n,n,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):

Матрица собственных векторов матрицы Km:

> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):

Собственные числа матрицы Km:

> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):

> sortirovka(Fi,LL):

Собственные частоты:

> p1:=sqrt(LL[1,1]):

> pp1:=p1/(2.*evalf(Pi)):

> p2:=sqrt(LL[2,1]):

> pp2:=p2/(2.*evalf(Pi)):

> p3:=sqrt(LL[3,1]):

> pp3:=p3/(2.*evalf(Pi)):

> K2:=Matrix(n,n,EI/(L^3)*[[24*gammaст,6*L*gammaст,6*L*gammaст],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,4*L^2*gammaр],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaр,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр]],datatype=float[4]):

> K2m:=Matrix(n,n,m_05.K2.m_05,datatype=float[4]):

> K2mK_1m:=K2m.Km^(-1):

> vect:=Matrix(n,n,Eigenvectors(K2mK_1m,output=vectors),datatype=float[4]):

> gammm:=Matrix(n,1,Eigenvectors(K2mK_1m,output=values),datatype=float[4]):

> sortirovka(vect,gammm):

> vect:

> gammm:

> gam(p1):

> gam(p2):

> gam(p3):

Коэффициенты потерь по собственным формам:

> gamm(1):=gammm[1,1]*gam(pp1);

> gamm(2):=gammm[2,1]*gam(pp2);

> gamm(3):=gammm[3,1]*gam(pp3);

Собственные векторы:

> Psi1:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):

> Psi3:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):

> Psi2:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):

Парциальные матрицы:

> H1:=Matrix(n,n,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):

> H2:=Matrix(n,n,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):

> H3:=Matrix(n,n,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):

Амплитуды форм колебаний неизвестных:

> Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Fi1(omega):=1/(p1^2-omega^2+I*gamm(1)*p1*omega):

> Fi2(omega):=1/(p2^2-omega^2+I*gamm(2)*p2*omega):

> Fi3(omega):=1/(p3^2-omega^2+I*gamm(3)*p3*omega):

Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1:

> MM:=Matrix(2*n1,n,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):

Перемещения:

> Z:=Az1*Fi1(omega)+Az2*Fi2(omega)+Az3*Fi3(omega):

Матрица расчетных изгибающих моментов:

> Mpac:=MM.Z:

Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac:

> M0pac:=Matrix(2*n1,1,[[sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[4,1])^2+Im(Mpac[4,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[5,1])^2+Im(Mpac[5,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[6,1])^2+Im(Mpac[6,1])^2)]]):

> M0pac[2,1]-M0pac[3,1]:

> plot(sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2),omega=0...1.2*p3);

> plot(sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);

 

> plot(sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);

График обобщенных перемещений Zi:

> plot(sqrt(Re(Z[1,1])^2+Im(Z[1,1])^2),omega=0..1.2*p3);

> plot(sqrt(Re(Z[2,1])^2+Im(Z[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);

 

> plot(sqrt(Re(Z[3,1])^2+Im(Z[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);

> omega:=p1;

> M0pac;

> omega:=p2;

> M0pac;

 

> omega:=p3;

> M0pac;


Рассмотрим раму, показанную на рис.5.29, при действии горизонтальной, гармонической силы . Стойки рамы выполнены из предварительно напряженного железобетона, ригель стальной.

На ригеле установлен гаситель горизонтальных колебаний.

Найдем амплитуды перемещений узлов и амплитуды изгибающих моментов в сечениях 1–6,

Расчет выполним, используя программный пакет Maple.

> restart;

Исходные данные: n1 - количество элементов, n - количество неизвестных, mm - распределенная масса в H/м, L - размер в м (высота стойки), P0 - амплитуда нагрузки kH, gammaст - коэффициент потерь материала стойки, gammaр - коэффициент потерь материала ригеля, gammaгас - коэффициент потерь гасителя, mg - масса гасителя, gamma1 - относительный коэффициент потерь при низких частотах колебаний (0 - 5 гц), gamma2 - относительный коэффициент потерь при высоких частотах колебаний (>= 10 гц).

> n1:=3: n:=4: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gamma2:=1.: gamma1:=1.: gammaст:=0.025: gammaр:=0.01: gammaгас:=0.1: mg:=125.:

> with(LinearAlgebra):

> m:=Matrix(n,n,mm*L/210*[[786,11*L,11*L,0],[11*L,26*L^2,-18*L^2,0],[11*L,-18*L^2,26*L^2,0],[0,0,0,mg*210/(mm*L)]],datatype=float[8]):

Процедура зависимости отношения коэффициентов потерь от частоты:

> gam:=proc(omega)

> global gamma1,gamma2:

> gamma1+Heaviside(omega-10*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-10.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)))-Heaviside(omega-20.*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-20.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi))):

> RETURN(%):

> end:

> plot(gam(x),x=0..100):

Процедура сортировки по возрастанию:

> sortirovka:=proc(Fi,sch)

> local i,j,k,bb,S: global n:

> for i from 1 by 1 to n-1 do

> for j from i+1 by 1 to n do

> if sch[j,1]<sch[i,1] then

> bb:=sch[j,1];

> sch[j,1]:=sch[i,1];

> sch[i,1]:=bb;

> for k from 1 to n do

> S[j]:=Fi[k,j];

> Fi[k,j]:=Fi[k,i];

> Fi[k,i]:=S[j];

> end do;

> else

> next;

> end if;

> end do;

> end do;

> end:

Вычисление собственных векторов матрицы m:

> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[8]):

Вычисление собственных чисел матрицы m:

> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[8]):

Матрица собственных чисел матрицы m:

> lambdaM:=Matrix(n,n,[[LL[1,1],0,0,0],[0,LL[2,1],0,0],[0,0,LL[3,1],0],[0,0,0,LL[4,1]]],datatype=float[8]):

Квадратный корень из матрицысобственных чисел матрицы m:

> lambdaM05:=Matrix(n,n,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0,0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3]),0],[0,0,0,sqrt(lambdaM[4,4])]],datatype=float[8]):

Квадратный корень из матрицы m:

> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):

Квадратный корень из обратной матрицы m:

> m_05:=Matrix(n,n,m05^(-1),datatype=float[8]):

Жесткость EI и жесткость гасителя:

> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): kg:=3281.06519*mg:

Матрица жесткости рамы:

> K:=Matrix(n,n,2*EI/(L^3)*[[12+kg*L^3/(2*EI),3*L,3*L,-kg*L^3/(2*EI)],[3*L,6*L^2,2*L^2,0],[3*L,2*L^2,6*L^2,0],[-kg*L^3/(2*EI),0,0,kg*L^3/(2*EI)]],datatype=float[8]):

Матрица Km:

> Km:=Matrix(n,n,m_05.K.m_05,datatype=float[8]):

Матрица собственных векторов матрицы Km:

> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[8]):

Собственные числа матрицы Km:

> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[8]):

> sortirovka(Fi,LL):

> Km_05:=Fi.Matrix(n,n,[[sqrt(LL[1,1]),0,0,0],[0,sqrt(LL[2,1]),0,0],[0,0,sqrt(LL[3,1]),0],[0,0,0,sqrt(LL[4,1])]]).Transpose(Fi):

Собственные частоты:

> p1:=sqrt(LL[1,1]):

> pp1:=p1/(2.*evalf(Pi));

> p2:=sqrt(LL[2,1]):

> pp2:=p2/(2.*evalf(Pi));

> p3:=sqrt(LL[3,1]):

> pp3:=p3/(2.*evalf(Pi));

> p4:=sqrt(LL[4,1]):

> pp4:=p4/(2.*evalf(Pi));

Диссипативная матрица:

> K2:=Matrix(n,n,EI/(L^3)*[[24*gammaст+gammaгас*kg*L^3/(EI),6*L*gammaст,6*L*gammaст,-gammaгас*kg*L^3/(EI)],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,4*L^2*gammaр,0],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaр,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,0],[-gammaгас*kg*L^3/(EI),0,0,gammaгас*kg*L^3/(EI)]],datatype=float[8]):

> K2m:=Matrix(n,n,m_05.K2.m_05,datatype=float[8]):

 

> K2mK_1m:=Km_05^(-1).K2m.Km_05^(-1):

> vect:=Matrix(n,n,Eigenvectors(K2mK_1m,output=vectors),datatype=float[8]):

> fgamma:=Matrix(n,1,Eigenvectors(K2mK_1m,output=values),datatype=float[8]):

> sortirovka(vect,fgamma):

> gam(p1):

> gam(p2):

> gam(p3):

> gam(p4):

Коэффициенты потерь по собственным формам:

> gamm(1):=fgamma[1,1]*gam(p1);

> gamm(2):=fgamma[2,1]*gam(p2);

> gamm(3):=fgamma[3,1]*gam(p3);

> gamm(4):=fgamma[4,1]*gam(p4);

Собственные векторы:

> Psi1:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[1],[0],[0],[0]],datatype=float[8])):

> Psi2:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[1],[0],[0]],datatype=float[8])):

> Psi3:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[1],[0]],datatype=float[8])):

> Psi4:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[0],[1]],datatype=float[8])):

Парциальные матрицы:

> H1:=Matrix(n,n,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[8]):

> H2:=Matrix(n,n,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[8]):

> H3:=Matrix(n,n,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[8]):

> H4:=Matrix(n,n,Psi4.Transpose(Psi4),datatype=float[8]):

Амплитуды форм колебаний неизвестных:

> Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Az4:=m_05.H4.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):

> Fii1(omega):=1/(p1^2-omega^2+I*gamm(1)*p1*omega):

> Fii2(omega):=1/(p2^2-omega^2+I*gamm(2)*p2*omega):

> Fii3(omega):=1/(p3^2-omega^2+I*gamm(3)*p3*omega):

> Fii4(omega):=1/(p4^2-omega^2+I*gamm(4)*p4*omega):

Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1:

> MM:=Matrix(2*n1+1,n,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L],[-kg,0,0,kg]]):

Перемещения:

> Z:=Az1*Fii1(omega)+Az2*Fii2(omega)+Az3*Fii3(omega)+Az4*Fii4(omega):

Матрица расчетных изгибающих моментов:

> Mpac:=MM.Z:

Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac:

> M0pac:=Matrix(2*n1+1,1,[[sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[4,1])^2+Im(Mpac[4,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[5,1])^2+Im(Mpac[5,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[6,1])^2+Im(Mpac[6,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[7,1])^2+Im(Mpac[7,1])^2)]]):

> M0pac[2,1]-M0pac[3,1]:

> plot(sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2),omega=0...1.2*p2);

 

> plot(sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2),omega=0...1.2*p4):

> plot(sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2),omega=0...1.2*p4):

> plot(sqrt(Re(Mpac[7,1])^2+Im(Mpac[7,1])^2),omega=0...1.2*p2);

График обобщенных перемещений Zi:

> plot(sqrt(Re(Z[1,1])^2+Im(Z[1,1])^2),omega=0...1.2*p2);

> plot(sqrt(Re(Z[2,1])^2+Im(Z[2,1])^2),omega=0...1.2*p4):

> plot(sqrt(Re(Z[3,1])^2+Im(Z[3,1])^2),omega=0...1.2*p4):

> plot(sqrt(Re(Z[4,1])^2+Im(Z[4,1])^2),omega=0...1.2*p2);

> omega:=sqrt(3281.06519);

> M0pac;

> omega:=p1;

> M0pac;

> omega:=p2:

> M0pac:

> omega:=p3:

> M0pac:

> omega:=p4:

> M0pac:

 


Контрольные вопросы

 

К разделу 1

 

1. Сформулируйте правила сложения, умножения, транспонирования, и обращения матриц.

2. Что такое собственное значение и собственный вектор матрицы. Сколько собственных значений и собственных векторов имеет матрица.

3. Сформулируйте свойство собственных векторов.

4. Как можно определить собственное значение и собственный вектор матрицы.

5. Сформулируйте полную проблему собственных значений матрицы.

6. Какими методами можно решить полную проблему собственных значений.

К разделу 2.

 

1. Как записать формулу определения перемещений в матричной форме.

2. Как формируется матрица податливости системы.

3. Запишите матричный алгоритм метода сил.

4. Запишите в матричной форме формулы для определения коэффициентов канонических уравнений метода сил.

5. Какая формула используется для деформационной проверки.

6. Запишите матричный алгоритм метода перемещений.

7. Запишите в матричной форме формулы для определения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений.

 

К разделу 3.

 

1. Сформулируйте матричный алгоритм определения критического параметра по методу проф. Смирнова.

2. Как формируется матрица податливости для сжатых элементов.

3. Как определяется критический параметр из матричного алгоритма.

 

К разделу 4.

 

1. Сформулируйте уравнение движения механической системы в матричной форме.

2. В чем состоит метод разложения по собственным формам.

3. Собственные формы, каких матриц участвуют в разложении.

4. Как определяется парциальная матрица механической системы.

5. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения перемещений для произвольного силового воздействия.

6. Для чего используется интеграл Дюамеля.

7. Запишите формулы для импульсной переходной функции для консервативных систем и диссипативных систем с частотно-независимым демпфированием.

8. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для произвольного силового воздействия.

9. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения перемещений для гармонического воздействия.

10. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для гармонического воздействия.

 

К разделу 5.

 

1. По каким формулам вычисляются элементы матрицы жесткости конечного элемента.

2. По каким формулам вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости конечного элемента.

3. По каким формулам вычисляются элементы матрицы масс конечного элемента.

4. Сформулируйте метод разложения по собственным формам.

5. Собственные формы, какой матрицы участвуют в расчетах.

6. Как определяются функции матриц.

7. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения перемещений для произвольного силового воздействия.

8. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для произвольного силового воздействия.

9. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения перемещений для гармонического воздействия.

10. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для гармонического воздействия.

 


Заключение

 

В учебном пособии рассмотрено применение матричных методов расчета в строительной механике стержневых систем.

Показано решение задач статики сооружений, по методу сил, методу перемещений и по методу конечных элементов.

Рассмотрены задачи устойчивости стержневых систем. Показано определение критических параметров по методу проф. Смирнова и по методу конечных элементов.

Основной объем занимают динамические задачи. Эти задачи рассмотрены в разделах 4 и 5. В разделе 4 рассмотрена динамика многомассовых систем, а в разделе 5 динамика систем с распределенной массой и учетом сжимающих сил при колебаниях. Кроме того в разделе 5 используется функция матрицы масс при формирования матрицы, которая используется для определения собственных форм.

В каждом разделе приведены примеры расчетов. Где это необходимо используется персональная ЭВМ для расчетов.


Список литературы:

 

1. Бондарь Н.Г. Динамика железнодорожных мостов. / Н.Г.Бондарь, И.И.Казей, Б.Ф.Лесохин, Ю.Г.Козьмин. – М., «Транспорт», 1965, -412с.

2. Градштейн И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И.С.Градштейн, И.М.Рыжик И.М. – M.: «Наука», 1971. -1108с.

3. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. Пер. с англ.-М.: Стройиздат, 1979.-320с.

4. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. – М.: Трансжел-дориздат, 1958. -572с.

5. Справочник по динамике сооружений. / Под ред. Б.Г. Корнеева, И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1972. -511с.

6. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; Под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат. 1984. -416с.

7. Цейтлин А.И. Свободные колебания систем с частотно-независимым внутренним трением. / А.И. Цейтлин, Ю.Г. Плотников. – «Строительная механика и расчет сооружений», Науч.-техн. журнал Госстроя СССР, 1979, №1. – с.29 – 35.

8. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики – М.: Стройиздат, 1984. -334с.

9. Цейтлин А.И. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетахконструкций. / А.И. Цейтлин, А.А. Кусаинов. – Алма-Ата: «Наука» Казахской ССР. 1987. -236с.

 

 


ОГЛАВЛЕНИЕ

 

  Стр.
Введение…………………………………………………………………........  
Обозначения…………………………………………………………………..  
1. Краткие сведения из теории матриц…………………………………...  
1.1 Действия над матрицами……………………………………………..  
1.2. Собственные числа и собственные векторы матриц…………...  
1.3. Полная проблема собственных значений. Метод итераций…..  
1.4. Функции матриц……………………………………………………….  
2. Матрицы в статике сооружений…………………………………………  
2.1. Матричная форма определения перемещений………………….  
2.2. Метод сил………………………………………………………………  
2.3. Метод перемещений…………………………………………………  
3. Матрицы в теории устойчивости сооружений………………………. Определение критических сил в рамах методом А.Ф.Смирнова….  
4. Матрицы в динамике сооружений………………………………………  
4.1. Динамический расчет систем со многими степенями свободы  
4.2. Определение внутренних усилий…………………………………..  
4.3. Примеры динамического расчета конструкций…………………..  
5. Матрицы и метод конечных элементов………………………………..  
5.1. Статический расчет стержневых систем………………………….  
5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость…………………...  
5.3. Динамические расчеты стержневых систем...............................  
5.4.Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из разнородных материалов……………………………………………………….  
Контрольные вопросы……………………………………………………….  
Заключение……………………………………………………………………  
Список литературы…………………………………………………………..  

 

Date: 2015-12-10; view: 719; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию