Примеры динамического расчета конструкций

Рассмотрим применение полученных формул для расчета стержневых систем. Уравнение движения системы с конечным числом степеней свободы имеет вид (4.19)

,

где - обобщенные перемещения. Количество обобщенных перемещений равно числу степеней свободы системы. В реальных системах количество степеней свободы бесконечно большое число. Задача инженера-расчетчика состоит в том, чтобы из бесконечно большого количества выбрать несколько определяющих перемещений, дающих наибольший вклад в результаты расчета, и принять их за обобщенные перемещения. Затем необходимо составить матрицу жесткости K или матрицу податливости D. Какую из этих матриц составлять определяют по характеру задачи. Диссипативную матрицу Г составляют в тех случаях, когда в системе присутствуют специальные демпферы, либо поглощение энергии при колебаниях определяется внешними факторами. Если поглощение энергии происходит вследствие внутреннего трения в материале конструкции можно обойтись без определения этой матрицы. Матрицу масс m составляют либо диагональной, заменяя распределенную массу системы сосредоточенными массами в узлах системы, либо матрица m не диагональная, что происходит при учете распределенной массы системы.

Пример 15. Динамический расчет рамы

Для заданной рамы (рис.4.1) требуется:

1. Определить частоты и формы собственных колебаний системы. По­перечные сечения элементов рамы из двутавра №33 (осевой мо­мент инерции сечения I=9840 cm⁴, модуль упругости МПа, сосредоточенная масса m=1000 кг).

2. Построить эпюру изгибающих моментов от действия вибрационной нагрузки при частоте вынужденных колебаний .

3. Найти максимальный изгибающий момент от импульсного воздейст­вия

Решение: Задача выполняет чисто учебную цель. Система имеет две степени свободы, определяющих положение двух сосредоточенных масс в плоскости рамы. Матрица масс системы принята диагональной, так как распределенную массу системы не учитываем. Составим исходные матрицы: матрицу податливости D и матрицу масс m.

Составим матрицы:

.

По (2.10) вычислим матрицу, раскрывающую статическую не­определимость системы: .

Вычисляем , , .

, .

По направлению колебаний масс в основной системе прикладываем единичные силы и строим эпюры изгибающих моментов от этих сил (Рис.4.3).

Составим матрицу . Вычислим матрицу :

.

Матрица податливости и масс m системы:

Вычисляем матрицу :

.

Методом итераций находим собственные значения , ортонормаль­ный собственный вектор и первую парциальную матрицу матрицы

:

, ,

Первая собственная частота системы .

Вычисляем матрицу :

= .

Методом итераций находим

, , .

Вторая собственная частота системы .

Частота вынужденных колебаний . Амплитуды внутренних усилий находим по формуле (4.36):

,

где , - передаточные функции, определяемые по (4.25) (зату­хание не учитываем т.к. ):

После подстановки значений в (4.36) получим

,

где , , ,

,

Далее находим

=

=

+ =

.

Внутренние усилия от импульсного воздействия находим по формуле (4.36):

, (*)

где , .

Учтем затухание колебаний по «скорректированной» гипотезе Фохта:

,

Нагрузка на систему мгновенный импульс

, ,

тогда

,

в котором принято, что для реальных конструкционных материа­лов. Коэффициент потерь принимаем: для расчета на прочность металлических конструкций. .

После подстановки этих выражений в (*) получим

,

или

,

После подстановки вычисленных выражений и , .

f(t),

f(t)= (0.26371 +0.38146

Рис.4.5. График изменения максимального динамического момента от действия S₂=10кН*сек

.

Пример 16. Динамический расчет фермы железнодорожного моста

Мостовая ферма длиной 48 м имеет 8 панелей по 6 м, угол наклона раскоса к горизонтали 60^о. Площади элементов нижнего пояса и раскосов равны А = 100 см^2, площади элементов верхнего пояса равны 2 А. Материал фермы сталь 3 с модулем упругости Мпа. Масса фермы m_ферм =49680 кг. При движении состава по мостовой ферме действует импульсная динамическая нагрузка, возникающая в результате прохождения рельсовых стыков колесными парами. При длине рельса 25 м на ферме может располагаться один или два рельсовых стыка. Для упрощения расчета примем, что рельсовый стык расположен в середине длины мостовой фермы. Таким образом, нагрузка от колес P(t) проходящего по мосту состава приложена в середине мостовой фермы. Приведем массу фермы к нижним узлам решетки. Расчетная схема мостовой фермы приведена на Рис.3.19. Таким образом имеем систему с 7 степенями свободы, загруженную нагрузкой P(t), приложенной к центральной массе. Требуется найти перемещение в середине пролета и наибольшие внутренние усилия в поясах фермы.

Перемещения находим по формуле (4.27), (4.29):

, (*)

а внутренние усилия по формуле (4.36):

, (**)

в которых: L_N – матрица влияния внутренних усилий, m = m E - матрица масс, E- единичная матрица, H_i – парциальная матрица, - вектор амплитуд нагрузки, - квадрат собственной частоты.

.

Для составления матрицы влияния внутренних усилий L_m в нижние узлы фермы последовательно прикладываем силы F_j=1 (см. рис.3.21), находим внутренние усилия и записываем их значения в j -й столбец.

Матрица G содержит ненулевые элементы на главной диагонали, т.е. , - для элементов нижнего пояса и раскосов, - для элементов верхнего пояса.

Матрицу податливости системы находим по формуле (3.40). Для статически определимой фермы U = E, получаем

,

где d = 6 м длина панели фермы, МПа, A =100 см² – площадь сечения раскоса.

Методом итераций находим собственные значения и собственные векторы матрицы :

, , , , , , ,

, , , , , , .

Собственные частоты :

, , , , , , .

После подстановки значений: , , , вычисляем технические собственные частоты

: гц, гц, гц, гц, гц, гц, гц.

Парциальные матрицы :

H₁ =

H₂ =

H₃ =

H₄ =

H₅ =

H₆ =

H₇ =

После подстановки m, H_j и получается

.

Максимальные вертикальные перемещения получаются для узла 4 нижнего пояса . (А)

Наиболее напряженными являются 14 и 16 стержни поясов фермы. При статической нагрузке стержень 14 растянут, а стержень 16 сжат. Динамические, нормальные усилия в этих стержнях получаются из (**), если в матрице оставить 14 и 16 строки. После перемножения получается

, (Б)

. (В)

Для определения закона изменения нагрузки во времени примем, что все колесные пары передают одинаковое кратковременное воздействие на стык при его прохождении. Будем считать это воздействие мгновенным импульсом, величина которого равна S. На Рис.3.20. изображены два соседних четырехосных вагона.

Из этого рисунка видно, что через стык прошли четыре оси первого вагона и от каждой оси был передан импульс S. В составе может быть примерно 50 вагонов, т.е. примерно 50 раз повторится воздействие группы импульсов S от колес на осях 1 – 4. Время, через которое повторяется это воздействие равно длине вагона деленной на его скорость. Обозначим это время через . Нагрузка, передаваемая через рельсовый стык, когда через него проходит 4-я полуось n-го вагона , где

, (Г)

- дельта функция Дирака, - время прохождения пути равного расстоянию между 4-й и 3-й тележками, время прохождения пути равного расстоянию между 4-й и 2-й тележками, - время прохождения пути равного расстоянию между 4-й и 1-й тележками.

По формуле (3.69) находится матрица , элементы которой

, .

После подстановки в это выражение f(t) из (Г) и интегрирования получается

, =0. (Д)

Упростим полученную функцию, полагая . Рассмотрим выражения и . В книге [2] даны формулы (1.461)

,

,

с помощью которых, получаем из (Д):

(Е)

При

Знаменатель полученного выражения может стать равным нулю и при этом , то есть будем иметь случай резонанса. Таким образом, резонанс наступает при = 0 или , =0,1,2,… Откуда

,

где - собственная частота в герцах, - время прохождения поездом расстояния равного длине вагона. Это время есть отношение длины вагона к скорости поезда .

Отсюда , (Ж)

есть скорость поезда, при которой возникают резонансные колебания фермы моста.

Формула (Е) получена для случая бесконечно длинного состава . Используя (Е), можно получить формулу для конечного n = 50:

.

Логарифмический декремент колебаний примем по [1] , тогда

Величина импульса S зависит от типа вагонов, от скорости движения поезда, от неподрессоренной массы вагона и др. Например, в таблице 6.10 книги [1] дано значение для четырехосного вагона, движущегося со скоростью 53.3 км/час по мосту с пролетом 45 м. В этой же книге приведена формула ,

где k – некоторый коэффициент, - неподрессоренная масса, - скорость поезда в м/сек. Используя эту формулу и данные S=520 H*сек, v_поезда =53.3 км/час, находим

,

где - скорость поезда в км/час.

В нашем случае пролет фермы 48 м. Скорость движения поезда, при которой возникают резонансные колебания определим по формуле (Ж) для , : ,

В таблице 3.1 приведены значения резонансных скоростей и соответствующие им импульсы для =1,2,3,4,5,6

Таблица 3.1

(км/час)		94.5		47.25	37.8	31.6
S (Н*сек)
v4max (мм)		5.7	1.1	0.77	3.2
N14 (кН)
N16 (кН)

По формулам (Е), (А), (Б), (В) при вычисляем v₄, N₁₄, N₁₆. Используем программный пакет Maple10. На Рис.3.22 – 3.26 приведены графики функций v₄, N₁₄, N₁₆. В таблице 3.1 приведены максимальные значения v₄, N₁₄, N₁₆.

v_поезда = 94.5 км/час v_поезда = 63 км/час v_поезда = 47.25 км/час v_поезда = 37.8 км/час

Рис.4.10. Внутренняя сила в 14 стержне Рис.4.11. Внутренняя сила в 16 стержне

при скорости поезда v_поезда = 94.5 км/час при скорости поезда v_поезда = 94.5 км/час

Рис.4.12. Внутренняя сила в 14 стержне Рис.4.13. Внутренняя сила в 16 стержне

при скорости поезда v_поезда = 37.8 км/час при скорости поезда v_поезда = 37.8 км/час

Перемещения и внутренние усилия от статического воздействия масс m=6210кг:

; ; .

Для получения v_4ст достаточно умножить четвертую строку матрицы D на вектор . После умножения получим v_4ст=22.5мм. Для получения и достаточно умножить соответственно строки 14 и 16 на вектор . После умножения получим , .

Динамические коэффициенты по перемещениям

при скорости поезда 37.8 км/час ,

при скорости поезда 94.5 км/час .

Динамические коэффициенты по внутренним усилиям

при скорости поезда 37.8 км/час , ,

при скорости поезда 94.5 км/час , .