Функции матриц

Из (1.14) с учетом (1.6) следует

……………………………………………………. (1.18)

Пусть – функция , допускающая разложение в ряд Маклорена, тогда из (1.18) следует:

(1.19)

Формула (1.19) дает определение функции, аргументом которой явля­ется матрица А. Эту функцию несложно найти, зная собственные числа матрицы f (A), а это числа . Таким образом, формула (1.19) по­зволяет построить алгебру матриц на основе обычной алгебры, заменяя любые алгебраические преобразования матриц, преобразованиями собственных чисел.

В частности, можно записать:

(1.20)

На следующих страницах приведены примеры вычисления функций матрицы А.

Пример №9: Дано: В предыдущем при-

мере были найдены собственные числа и собственные векторы этой мат­рицы. Составим матрицы собственных векторов и собственных чисел:

Найти:

Решение:

(1.21)

Элементарно просто находим:

И затем по (1.21) выполняем перемножения, получаем

Легко проверить, что , .