Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Полная проблема собственных значений. Метод итераций

Простота и легкость программирования метода итераций для опреде­ления старшего собственного числа объясняет стремление приме­нить этот метод к определению остальных собственных чисел, т.е. приме­нить метод итераций к решению полной проблемы собственных значений.

Равенство (1.1) записано для одного собственного числа. Матрич­ный аналог этого равенства выглядит следующим образом:

 

, (1.5)

где - диагональная матрица n – го порядка на главной диагонали кото­рой расположены собственные числа. матрица, составлен­ная из собственных векторов, записанных по столбцам.

Отметим очень важное свойство собственных векторов – свойство ортогональности: при . В матричной форме это условие запи­сывается так: где - диагональная матрица. Обычно нор­мируют собственные вектора: , тогда условие ортогонально­сти примет вид:

, (1.6)

 

где Е – единичная матрица.

Из (1.6) следует, что для нормированных собственных векторов

 

(1.7)

а также

(1.8)

В результате очередной итерации по формулам (1.4) получаем

 

(1.9)

 

где - нормированный, а – ненормированный вектор. Находим норми­рующий множитель

(1.10)

 

и затем нормированный вектор

 

(1.11)

Отсюда имеем

(1.12)

 

Сравнивая с (1.4), замечаем, что нормирующий множитель после оче­редной итерации

i = . (1.13)

 

В (1.9) –(1.13) i – номер итерации, а не номер собственного числа.

С учетом (1.7) выражение (1.5) можно записать в виде:

 

(1.14)

 

Переходя к векторной форме записи, получим:

 

 

После перемножения матриц в правой части, имеем:

 

(1.15)

 

Обозначим

 

. (1.16)

 

Тогда

,

, (1.17)

…………………………………………

,

 

Применим к (1.17) метод итераций и найдем старшие собственные числа и собственные векторы матриц Ai. Здесь i – номер собственной формы. Предполагаем, что правые части (1.15), (1.17) записаны в порядке убывания собственных чисел. Тогда из Ai методом итераций находится и .

Таким образом, имеем следующую схему решения полной проблемы собственных значений матрицы A:

а) методом итераций из A находим , по формулам (1.9) – (1.13)

б) по (1.16) определяем A 1,

в) методом итераций из A 1 находим и ,

г) по (1.16) определяем A 2,

и т.д. повторяем процесс, пока не найдем все n собственных чисел.

 

Пример №8. Найти все собственные векторы и собственные числа матрицы

 

Применяем, описанный выше метод итераций к матрице А. Вычисления велись на ПК в программе Excel.

 

Находим 139.658735, . По формуле (1.16) вычисляем

 

Применив метод итераций к А1, находим

= 18,03255539, .

По формуле (1.16) вычисляем

 

 

Применив метод итераций к А2, находим

 

= 6,577921363, .

По формуле (1.16) вычисляем

 

 

Применив метод итераций к А3, находим

= 1,730788224, .

Применив еще раз формулу (1.16), находим

 

Элементы матрицы А4, которые должны бать равны нулю, позволяют оценить точность расчетов. Как видно, погрешность имеет порядок 10-12, что очень хорошо, если учесть значения элементов матрицы А3, имею­щие порядок 10-0.

 


<== предыдущая | следующая ==>
Собственные числа и собственные векторы матриц | Функции матриц

Date: 2015-12-10; view: 398; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию