Квадратичные формы. Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных

Справочный материал.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: , где – матрица-столбец переменных, А – матрица квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все её коэффициенты при : .

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определённым.

Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А положительны или все главные миноры матрицы А положительны (Критерий Сильвестра).

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А отрицательны или все главные миноры матрицы А нечётного порядка отрицательны, а матрицы чётного порядка положительны (Критерий Сильвестра).

Пример. Привести квадратичную форму L к каноническому виду:

.

Решение.

Выполним следующие преобразования:

.

Выполним переобозначения:

, , .

Полученное линейное преобразование , , приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду:

.

Ответ: .

Вопросы к экзамену (зачету)

1. Комплексные числа
2. Арифметические действия над комплексными числами

1. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма комплексного числа
2. Возведение в степень комплексного числа и извлечение комплексного корня
3. Многочлены. Разложение многочлена на множители
4. Комплексные корни многочлена. Разложение многочлена на множители
5. Метод Гаусса
6. Решение СЛАУ
7. Линейная зависимость. Ранг системы векторов
8. Базис и разложение вектора по базису
9. Фундаментальный набор решений однородной СЛАУ
10. Скалярное произведение
11. Скалярное произведение, длина вектора, угол между векторами
12. Ортогональный базис
13. Действия над матрицами
14. Арифметические действия над матрицами, транспонирование
15. Умножение матриц, возведение матрицы в степень
16. Определители
17. Вычисление определителя
18. Ранг матрицы
19. Обратная матрица
20. Матричные уравнения
21. Формулы Крамера
22. Матрица перехода от одного базиса к другому
23. Линейные операторы
24. Значение линейного оператора на векторе
25. Матрица линейного оператора
26. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису
27. Спектр линейного оператора
28. Собственные значения и собственные векторы матрицы
29. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
30. Квадратичные формы
31. Матрица квадратичной формы
32. Ранг квадратичной формы
33. Приведение квадратичной формы к нормальному виду
34. Приведение квадратичной формы к главным осям
35. Знакоопределенность квадратичной формы