Задача 2

Решить систему алгебраических линейных уравнений по правилу Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Пример. Рассмотрим систему алгебраических линейных уравнений:

Решение.

1. Правило Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268).

Согласно этому правилу, , где

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

2. Матричный способ.

Введём обозначения: Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: , решение которого находим по формуле Прежде всего найдём матрицу , обратную матрице Определитель системы Следовательно для матрицы существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Отсюда

Тогда

Итак,

1. Метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарныхпреобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

Здесь выполнены следующие преобразования:

а) первую и вторую строчки поменяли местами;

б) первую строчку умножили на -2 и сложили со второй, первую строчку умножили на -3 и сложили с третьей;

в) третью строчку разделили на -2;

г) вторую строчку сложили с третьей;

д) третью строчку разделили на 3.

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

Из этой системы последовательно находим: