І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері 2 page

S_б.б=2 (S_ASD+ S_ABS)=(210+290)*2=1000 дм²=10м²

№17 (34 нұсқа №8) Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз. ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм, SA=10cм SH-? AH=R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R= 6 SH=

№18 (34 нұсқа №19) Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2 см арасындағы бұрышы 30⁰-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2 cм, <BHC=30⁰

SH=AB, V-? S= AC* BD *sin30⁰= *4*2 * =2 cм²

AB= V= *2 *1= cм³

2004 жыл №19 (4 нұсқа №26) ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар

12 м, 14 м, 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?

SA=12 м, SB=14 м, SC=18м SD=? AB=x, BC=y, SD=z

X²+z²=144 Y²+z²=196 X²+y²+z²=324 144-z²+196-z²+z²=324

Z²=16 Z=4м Жауабы: SD=4м

№20 Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз. SA= см <SAH=60⁰ AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы

=cos60⁰ AH= . SH= = SA²=2R*SH R= = см

2005 ж №21 (4 нұсқа №30) Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз. AB=x SH=h R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы R= AS²=SH²+AH² X²=()²+h² X²- =h² X²= h² S_ABC= S_т.б=4

№22 (5 нұсқа №21) өлемі 4 см³, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз. V=4cм³ AB=2 см S_ABCD=2²=4см² V= S_ABCD*SH SH=3V: S_ABCD SH=12:4=3 АС=2 , HC= SC=

№23.(15 нұсқа №16) ирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 60⁰ бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, AB=a <SAD=<SCD=60⁰ S_т.б=S_таб+2(S_ASD+S_SAB)

S_таб=a² SD = tg60⁰ AD SA= a S_ASB= AS*AB= *a*2a=a²

S_SAD= AD*SA= *a* a= a² S_т.б=a²+2(a²+ a²)²=a²(3+ )

2006 ж №24.(14 нұсқа №30) Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м² болса, табан ауданы неге тең? SH₁=2SH S₁=2 м² =()²

S₁=8 м²

№25 (17 нұсқа №13) MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз. MO=7, MA=14. AO²= MA²-MO²

AO= M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7 ;0;0)

MO(0;0;7) MC(-7 ;0;7) =0+0+49=49
2007 ж №26 (6 нұсқа №24) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең? S_таб= ABC: CB²=CE² +EB²-2CE *CB cos120⁰

CE=x a²=3x² x= SAC: AE²=AC²-CE²

AE= =a AS=CS=y ES²+EC²=SC² ES=AS-ES
(y- a )²+ =y² y²-2ax +2 + = y² y= AS= SAH: AH=

SH²=AS²-AH² SH= V= S_таб SH= * * =

2009 ж №27 (1 нұсқа №18) Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 30⁰ төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 60⁰ бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз. ABC-тік бұрышты үшбұрыш <A=30⁰, BC=30, <SAH=60⁰ SH=? AB=60 AC= R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы R=AH R= =30 tg60⁰ SH=30

№28 (2 нұсқа № 19) SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см, SB=5 см <CBA=90⁰болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

BС=18 см, AB= 12 см,SB=5 см <CBA=90⁰ SO-? AC=

m- ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы

m= BO- АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі BO= =4 SO²=SB²+BO² SO=

№29 (3 нұсқа №25) Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз. AB=3, BC=7, AC=6, SH=4 SA-? AC²+BD²=2(AB²+BC²) BD²=2(9+49)-36 BD²=80 BD=4 BH=BD:2=2 SB²=SH²+BH² SB²=16+20=36 SB=6 SA²=9+16=25 SA=5

№30 (7 нұсқа №25) М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см, DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз. R_ABCD=R_ABD AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2

DK²=AD²-AK² DK²=36-4=32 DK=4 DB²=DK²+KB² KB=AB-AK=12-2=10 DB²=32+100=132 DB=2 P_ABD=(12+2 +6):2=9+ S_ABD=

R_ABD= MO=

№31 (13 нұсқа №25) Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4 см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰ жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз. AC=4 <SHO=60⁰ r_cфера-? AB²+BC²=AC² 2 AB²=96 AB²=48 AB=4 OH=2

<OSH=30⁰ r_cфера=r tg30⁰=2 * =2 S=4 r_cфера²=4 *2²=16

№32(15 нұсқа №24) Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30⁰-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.

<OSK=30⁰ r_ABC= SK=2OK=2 = SO=

r_cфера= a=6 AB=3

№33 (16 нұсқа №24) Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 60⁰-қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

AC=6, BC=8, AC=10 OK=(6+8-10)/2=2 <OSK=30⁰ SK=2OK=4

SO²=SK²-OK² SO²=16-4=12 SO=2

№34 (25 нұсқа №25) Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең? S_ASB=P, S_BSC=Q, SB=a V-? AB=x, BC=y S_ASB= AB SB x=2P:a S_BSC= BC* SB y=2Q:a

S_ABC= AB* BC= V=

2010 ж №35 (9 нұсқа №24) МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз. AK²=AB²-BK² AK²=36-9=27 AK=3 KN=3 AN=3 P=3+3 +3 =3(2 +1)
№36(15 нұсқа №24) Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз. S_ASC=S_таб AS=5, S_таб-? SH=h AB=x AH²=AS²-SH²=25-h² AC= AC²=2AB² AB²=2 (25-h²) S_ASC= AC*SH S_таб= AB² h=2 (25-h²) h= h²=4(25-h²) 5h²=100 h²=20 h=2 AB²=2(25-20)=10 S_таб=10

№37 (5 нұсқа №29) Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз. AB=AC=BC=3 MN=NK=MK=2 S_б.б= S_ABC+ S_MNK V-? R_ABC= S_таб= S_ABC= S_MNK= S_б.б= (P_ABC+P_MNK) m, m-бүйір жағының апофемасы S_б.б= m= R_ABC-R_MNK= H_пир= V=

№38 (16 нұсқа №29) Табандарының ауданы 16 см² және 4см², ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз. S_ABC=16 см² S_MNK=4см² H=3 см V-?

V= 3 (16+4+ )=28 см³

№39 (17 нұсқа №24) Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең.Пирамиданың көлемін табыңыз. H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52 P_MNK=72, V-? P_ABC=24+29+52=108

S_ABC= S_MNK=120

V= *10 *(270+120+ )=1900м²

ІІІ бөлім Параллелепипед. Параллелепипед –барлық жақтары параллелограммдар болатын призма. Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед. а,в,с- қабырғалары, d-диогональ

Тік параллелепипедтің барлық жақтары –тік төртбұрыштар.

V=abc; S_б.б =2c(a+b) S_т.б=2(ab+bc+ac) d²=a²+b²+c²

2003 ж №1 (3 нұсқа №21) Жақтарының аудандары 6 см², 2см² және 3см² тең тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз. S₁=ab ab=6 b=6:a S₂=ac ac=2 c=2:a S₃=bc bc= 3 a²=4 a=2

b=6:2=3 c=2:2=1 V=abc=6cм³

№2(8 нұсқа №19) Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 45⁰ бұрыш жасайтын тік бұрышты табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін табыңыз. с=4см d=4cм а²+в²=d² 2a²=16 a²=8 S_таб= a² S_таб=8 V=8*4=32cм²
№3 (9 нұсқа №19)

Тік бұрышты параллелепипедтің табан қабырғалары 7 дм және 24 дм, биіктігі 8 дм. Диогональдық қимасының ауданын табыңыз.

a=7 дм b=24дм c=8 дм d²=a²+b²

d²=49+576=625 d=25 S_қима=25*8=200дм²= 2м²
№4.(15 нұсқа №21) Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбеден шығатын үш жағының диогональдарының ұзындығы 2 см, 2 см және 10 см. Параллелепипедтің диогоналін табыңыз. d₁=2 см, d₂=2 см, d₃=10 см. d=? а²+в²=(2 )² a²+c²=(2 )² в²+с²=10² в²=40-а² с²=68-a² 40-а²+68-a²=100 2a²=8 a²=4 в²=40-4=36 с²=68-4=64 d²=4+36+64=104 d=

№5 (20 нұсқа №19) Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 15м, 50м,36м. Оған тең шамалас кубтың қырын табыңыз. a=15м, b=50м, c= 36м V=15*50*36=27000м²