І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері 1 page

2003ж №1(4 нұсқа №28) А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және жазықтықпен 60⁰ бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.

AD=18, <AKD=60⁰

AK-?

AK=18
2004 ж №2. (12 нұсқа №28) АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А,В,С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің прокциялары.

Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

АD =4, DB=6, MK= 6 PN=9, MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28) АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді.Егер AC= 15, AB= 20, KP=4 болса, КС –ны табыңыз.

KC=3
№4 (26 нұсқа №28)

Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді.Оның ұштары жазықтықтан 3 см және 2 см қашықтықта жатыр.Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

АВ=10см АР=2см ВD=3см <BOD-?

BC=BD+DC=2см+3см=5см <BAC=<BOD= =sin Sin = =30⁰ <BOD=30⁰

2006 ж №5 (14 нұсқа №24) Ұзындығы 2,4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС тік бұрышты (<B=90⁰) үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=6, BC=8, BK=2,4 KN-?

AN=x NC=10-x BN²=AB²-AN² BN²=BC²-NC² 36-x²=64-(10-х)²

20х=7,2 Х=3,6 BN²=36-3,6² BN=4*8 KN²=BK²+BN²

KN²=5,76+23,04=28,8 KN=2,4

№6 Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген нүкте жазықтықтан 8 см қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын табыңыз. AB=10, AC=17, AH=8 BH, HC-?

BH²=AB²-AH² BH²=100-64=36

BH=6 HC²=AC²-AH² HC²=289-64=225 HC=15

2009ж №7(22 нұсқа №19) АВ кесіндісі а жазықтығын қияды.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А,В және С нүктелері арқылы жазықтығын М,К және Р нүктелерінде қиятын параллель түзулер жүргізілген.

Егер АM= , BP = дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз. BN= BP+PN BN= + дм=4 дм АВN үшбұрышының орта сызығы- CD СD=BN:2=2 CK=CD-KD=2 - =
№8 (1 нұсқа №19) А(3; -2;-4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз. A(3;-2;-4) ОУ осіндегі

А₁(0;-2;0) XOZ жазықтығындағы А₂(3;0;-4) АА₁= АА₂= АА₁+ АА₂=5+2=7

№9 (7 нұсқа №24) АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <D=135⁰, AE ABCD және ВС түзуінен 8 қашықтықта жатыр. В,С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AB=8, EK=8 S_ромб=a²sin135⁰ S=32 S=ah h=S:a=4

cos =60⁰

№10 (19 нұсқа №19) АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <А=45⁰ Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры тұрғызылған.Е нүктесі АD түзуінен 4 қашықтықта. Е нүктесінен АВС жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=8, EK=4 <A=45⁰ <ABK=45⁰ AK²+KB²=AB² 2KB²=64

KB²=32 BE²=EK²- KB² BE²=96-32=64 BE=8

ІІ бөлім. Пирамида Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

SA - бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі(апофемасы)

V- көлемі S_т.б-толық бетінің ауданы S_таб-табанының ауданы

S_б.б-бүйір бетінің ауданы Кез келген пирамида үшін: V= S_таб H

S_т.б= S_б.б+ S_таб Дұрыс пирамида үшін: S_б.б= PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р₁, Р₂-табандарының периметрі S_1, S₂-табандарының аудандары

V= H(S₁+S₂+ ) S _б.б= (P₁+P₂) A

2003 ж тест жинағы №1 (1 нұсқа №12) Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2 см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз. SH=3 см AB= 2 см SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ; OH= SO²=SH²-OH² SO= =2 Жауабы:2 см

№2. (1 нұсқа №21) Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі? ИО=3x, ОН=2x S_КМР=S₁; S_ABC= S₂

S₁=9y; S₂= 25y V_ИКМР= ИО* S₁= *3x*9у=9 ху V_{қиық пир}= ОИ* (S₁+S₂+ )= *2x (9y+25y+ )= *98 xy = =

№3 (2 нұсқа №10) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA=?

АC= AH=2 SA= =

Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең? SH=9 см, SA= 12 см, V=? НС= =3 AC=6 AB²+BC²=252 S=AB²= 126 V= S H

V= *126 *9=378см³Жауабы:378см³

№5 (4 нұсқа № 21) Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз. SH=80 cм, AB=120 cм S_KFNM-?

AC= AH=60 SA= =20

КМ=SA:2=20 :2=10 MN=BC=120

MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30 KO= =50 S_KFNM= 4500cм²

№6 (5 нұсқа № 10) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120⁰. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

<AFC=120⁰ AC²=AB²+BC² 1) ABC AC= =20

2) AFC FC=(20 . ): =20

3) FBC BF= = SC²=SF²+FC²

SC=x, SF= x- X²=(x- )²+(20 )² X²=X²-2X +()²+

X= X=10 SC=10 SK²=SC²-KC²=(10 )²-10²=200

SK=10 S_б.б= P_ABCDSK= *80* 10 = 400

№7 (5 нұсқа № 21) Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең? SB-биіктік, AB=4 cм, BC= 5 cм, SB=6 cм

S_ABC= AB*BC= *4*5=10 V= S_ABC.SB= *10*6=20 cм³

№ 8 (7 нұсқа № 21) Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм. <SKO=60⁰, SO-?

S=r p KO=r=S:p p=(10+10+12):2=16 S= =48

=tg60⁰ r=КО=48:16=3 SO=3 cм
№9 (8 нұсқа №30) Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

AH= r- ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы. SH-пирамиданың биіктігі. R= AS= = = AS=L L²=2RH R= =6,35

№10 (10 нұсқа №21) Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 60⁰,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең? ABCD-ромб, <A=60⁰ <SKO=45⁰, V-?

S_ромб=a²sin 60⁰=14² * =98 AHD DH = sin60⁰ AD DH=14 * =7 OK=DH:2= SO=OK SOK,<O=90⁰. <K=<S=45⁰ V= S_ромб SO= *98 * =343 cм²

№11 (11 нұсқа №10) Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

SA=3 cм, AB=4 cм, V-? AC= =4

HC=AC:2=4 :2=2 SH= =1

V= AB² SH= *16*1=5 cм³

№12 (13 нұсқа №10) Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм. V-? HC= =3 AC=2HC=6

AB²+BC²=AC² AB²=6:2=3

V= AB²SH= *3*4=4 cм³

№13 (14 нұсқа №12) Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SA=SB=SC=SD=4 cм, AB=2, SH-? AB²+BC²=AC²

AC= =2 HC= SH= = cм.

№14 (17 нұсқа №21) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2 см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_б.б=2 cм, AB=2cм. V-? S_б.б= P_ABCD.SM, SM- бүйір жағының апофемасы SM=2S_ABCD:P=4 :8= SH=

V= *4* =2 cм³

№15 (23 нұсқа №19) Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең? <SAH= S_ASC=S, V-? =ctg SH=h AH=hctg AC=2hctg AB²+BC²=AC² 2AB²=(2hctg )² AB²=2h²ctg² S_ASC= AC* SH= *2hctg *h=h²ctg h= AB= S_ABCD=()²=2Sctg V= 2Sctg =

№16 (29 нұсқа №21) Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз. ABCB-шаршы, АB=20 дм, SD=21 дм. S_б.б-? S_ASD= AD SD= *20*21=210 S_ABS= AB AS= *20*29=290