Ряди Фур’є для -періодичних функцій

Якщо функція має період , тобто , то її ряд Фур’є має вигляд:

, (14)

де коефіцієнти Фур’є обчислюються за формулами:

, (15)

, (16)

, (17)

де .

У випадку парності отримаємо розклад по косинусах, тобто

, (18)

причому

(19)

, (20)

.

Якщо ж - непарна, то її ряд Фур’є містить синуси, тобто

, (21)

де , (22)

.

Зауважимо, що при , то всі формули (14) – (22) збігаються з формулами (5) – (13).

Приклад. Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію з періодом , яка на відрізку задається рівнянням

Розв’язання. Дана функція – парна (див. рис 3). Тому за формулою (19) маємо

.

Далі за формулою (20) знаходимо

Для парних , для -непарних , тобто

.

Отже,

.

Оскільки - неперервна для всіх , то ряд Фур’є збігається до для всякого .

Зокрема, якщо , то отримаємо рівність

.

Звідси знаходимо суму числового ряду

.