Приклади. Дослідити на збіжність знакопереміжні ряди, користуючись ознакою Лейбніца. 1

Дослідити на збіжність знакопереміжні ряди, користуючись ознакою Лейбніца.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .

Відповіді: 1. Збіжний. 2. Збіжний. 3. Розбіжний. 4. Збіжний.

5. Збіжний. 6. Розбіжний. 7. Збіжний.

Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність

Ряд

, (1)

серед членів якого можуть бути як додатні так і від’ємні називаються знакозамінним.

Оскільки ми вже досліджували збіжність додатних рядів, то розглянемо новий ряд із абсолютних величин ряду (1)

(2)

Теорема. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Якщо збігається ряд (2), то про початковий ряд (1) говорять, що він абсолютно збіжний.

Якщо ж ряд (1) збіжний, а ряд (2) розбіжний, то про ряд (1) говорять, що він умовно збіжний, тобто збіжний за умови, що він містить, як додатні члени, так і від’ємні.

Сформульовану теорему можна виразити ще так: ізабсолютною збіжності випливає умовна збіжність. Обернене твердження в загальному не має місця.

Приклад 1. Ряд - збіжний за ознакою Лейбніца, але ряд із абсолютних величин є гармонічним рядом, розбіжним. Тому початковий ряд є збіжним умовно.

Приклад 2. Ряд , де - задане, є абсолютно збіжним, бо

,

а ряд , як ми раніше встановили, є збіжним.

Приклади. Встановити, які з рядів збігаються абсолютно, які умовно, які розбігаються.

1. .	2. .
3. .	4.
5. .	7. .
6. .

Відповіді: 1. Збігається абсолютно. 2. Збігається абсолютно.

3. Збігається умовно. 4. Збігається абсолютно.

5. Збігається абсолютно. 6. Розбігається. 7. Розбігається.