Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Приклад 2
Із наведених прикладів бачимо, що складність інтегрування залежить від вдалого розподілу підінтегрального виразу на два співмножники 
і 
. В окремих випадках функція при диференціюванні може спрощуватись, наприклад, якщо 
,то 
і 
- уже многочлен 
- го степеня. Вираз для 
повинен бути таким, щоб інтеграл від був табличним або зводився до нього. В противному випадку розподіл підінтегрального виразу на і потрібно змінити.
Так, наприклад в інтегралах 
потрібно вибрати 
, а за відповідно брати 
тоді 
знаходиться за таблицею інтегралів.
В інтегралах 
за 
потрібно відповідно брати 
, тоді 
і 
легко знаходиться інтегруванням.
Приклади. Знайти інтеграли.
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
Відповіді: 1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
5. 
.
6. 
. 7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
. Вказівка. У чисельнику спочатку перетворити 
, а тоді інтегрувати частинами.
1.5. Інтегрування заміною змінної
Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на деякому інтервалі (a, b), а x=j(t) має неперервну похідну по t, причому область зміни функції x=j(t) належить області визначення функції f(x), тоді виконується рівність
(1)
Доведення. Покажемо, що ліва і права частини рівності (1) - це первісні для однієї функції відносно змінної 
. Дійсно ліва частина(1) є складною функцією відносно , тому похідна її по дорівнює:
А похідна правої частини теж має такий самий вигляд
.
Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються на сталу величину С, що і стверджує рівність (1).
Приклад 1.
Приклад 2.
Приклади Знайти інтеграли.
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10.  (заміна  )
| 11. 
|
12. 
| 13. 
|
14. 
| 15 
|
Відповіді: 1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
. 15. 
.
1.6. Інтегрування простих дробів
Нижче застосовуються посилання на таблиці інтегралів, коротко Т1, Т2, Т3. Наприклад, Т2, 4 – таблиця 2 інтегралів, формула 4.
рекурентна формула. Якщо позначити 
, то коротше можна записати
Підставивши n=2, маємо
При n=3 виразимо J3 через J2 і т.д.
Виділимо повний квадрат 
, де позначено 
, тоді
можна звести до табличних, якщо:
а) виділити повний квадрат;
б) за допомогою заміни змінної, яку подаємо нижче.
1.7. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен
Знаходження інтегралів
які містять квадратний тричлен можна здійснити за допомогою заміни змінної відповідно слідуючій схемі.
1) Знаходимо похідну квадратного тричлена і виносимо коефіцієнт при х за дужки
2) Вираз в дужках замінимо
3) Переходимо до змінної t під знаками інтегралів. Маємо
де позначино 
Тепер відносно нової змінної t запишемо
Для інтегралів I3 i I4 потрібно розглядати випадки: 1) a>0 i
2) a<0, розуміючи при цьому, що інтегрування можливе в області, де 
Отже, 1) a>0, тоді 
2) a<0, тоді 
(перед k2 можливий тільки знак “–”), отже
а далі за рекурентною формулою. В кінці розглянемо інтеграл
Перший з двох інтегралів знаходиться за таблицею 3, формула 1, другий – за рекурентною формулою.
Зауваження. В отриманих результатах інтегрування I1–I6 необхідно повернутись до змінної х, підставити 
Приклад 1. 
Розвязання. 1) 
2) Заміна: 
Приклад 2. 
Розвязання. 1) 
.
2) Заміна: 
.
.
.
Приклад 3. 
.
Розвязання. 1) 
.
2) Заміна: 
.
3) 
.
.
Date: 2015-12-10; view: 313; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |