Z або f 'xk (x1, x2, … , xn )

Частинні похідні знаходяться за звичайними правилами і формулами диференціювання (при цьому усі змінні, крім x_k, розглядаються як сталі).

Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції:

Z = arctg .

Вважаючи у сталою, маємо:

Рис.4.1.

Вважаючи у = const, ми отримуємо плоску криву Г_х , яка є перетином поверхні Р площиною, що паралельна координатній площині хОz. Нехай МК – дотична до кривої Г_х в точці М (x, y, z) і a є кут, утворений цією дотичною з віссю Ох. Згідно з геометричним змістом звичайної похідної маємо:

Tg a.

Аналогічно, якщо Г_y є перетин поверхні Р площиною х = const і b є кут, утворений з віссю Оу дотичною МL в точці М (x, y, z) до кривої Г_у, то

Tg b.

Зауваження 1. При знаходженні частинних похідних функції багатьох змінних ми застосовуємо всі правила і формули таблиці похідних, які відносились для функції однієї змінної.

2. При знаходженні частинної похідної від функції, наприклад, двох змінних по змінній х будемо розглядати у як сталу величину.

Якщо частинна похідна знаходиться по у, то х вважається сталою.

Приклади. Знайти частинні похідні функцій.

1. , 2. ,

3. , 4.

5. Обчислити значення частинних похідних функції в точці

Розв’язання. 1. . Дана функція є алгебраїчною сумою степенів, тому нагадуємо необхідні формули таблиці похідних однієї змінної: , Вважаючи у сталою, знаходимо .

Аналогічно,

2. . Крім згаданих вище формул табличних похідних однієї змінної, тут необхідно скористатись такими: , . Отже, маємо .

3. Відомо, що Далі маємо

4. .

. .

5. , М(-1,1,2). Оскільки , то

;