Знайти області визначення поданих функцій

Контрольні завдання

Функція багатьох змінних.

Задача 1. Знайти область розв’язків системи нерівностей і побудувати її на площині.

1. ; ; .

2. ; ; ; .

3. ; ; ; .

4. ; ; ; .

5. ; ; .

6. ; ; .

7. ; ; ; .

8. ; ; .

9. ; ; ; ; .

10. ; ; .

11. ; ; ; .

12. ; ; .

13. ; ; ; .

14. ; ; .

15. ; ; ; .

16. ; ; ; ; .

17. ; ; ; ; .

18. ; ; ; ; .

19. ; ; ; ; .

20. ; ; ; ; .

21. ; ; ; ; ; .

22. ; ; ; ; .

23. ; ; ; ; ;

.

24. ; ; ; ; .

25. ; ; ; ; .

26. ; ; ; ; .

27. ; ; ; ; .

28. ; ; ; ; ; .

29. ; ; ; ; .

30. ; ; ; ; .

Задача 2.

Знайти області визначення поданих функцій.

1.	;
2.	;	.
3.	;	.
4.	z = arcsin(x - 2y);	.
5.
6.	z = arccos(x + 3y);
7.
8.
9.	z = ln(x ² + y ² - 3);
10.	z = ln(4 - x ² - y ²);	;
11.	z = ln(4 x ² - y ²);
12.		z = ln(4 x - y 2 - 8).
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.		z = ln(5 - xy)
21.	z = arcsin(3 y - 2 x);
22.
23.	z = x ln xy;	z = arccos(x ² - y).
24.
25.	z = ln(4 - xy);	z = arcsin(2 x - y ²).
26.		z = ln(2 x ² - y ²).
27.
28.		z = arcsin(x ² + y - 2).
29.
30.		z = lg(4 x ²-9 y ²-36).

Задача 3. Обчислити значення частинних похідних для поданих функцій в точках

№	1)	2)
1.
2.		.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задача 4. Знайти повні диференціали поданих функцій

1.	z = arcsin(x ² + xy).	16.	.
2.	.	17.
3.	z = arctg(x - y).	18.	z = xy tg(x + y).
4.	.	19.	z = (y ² - 2) ln(3 xy + 1).
5.	.	20.	z = arctg(2 x - y).
6.	z = ln(x + xy - y ²).	21.	.
7.	.	22.	.
8.	.	23.	z = sin²(y ² - x ²) + y 4.
9.	z = arcctg(y ² - 2 x).	24.	.
10.	z = arcsin xy - 3 xy ³.	25.	.
11.	z = ln(y ² - x ² + 3).	26.	.
12.	.	27.	z = (y ² - 1) ln xy.
13.	.	28.	.
14.	.	29.	.
15.	z = arctg ex+ 2 y.	30.	.

Задача 5. Дослідити подані функції на екстремум.

1.	z = 2 xy - 5 x² - 3 y² + 2.
2.	z = x ² - xy + y ² + 9 x - 6 y + 20.
3.	z = 1 + 15 x - 2 x ² - xy - 2 y ².
4.	z = 1 + 15 x - 2 x ² - xy - 2 y ²;
5.	z = 2(x + y) - x ² - y ².
6.	z = 2 - 5 y ² - 3 x ² + 2 xy.
7.	z = 1 + 6 x - x ² - xy - y ².
8.	z = 4(x - y) - x ² - y ².
9.	z = x ² + xy + y ² - 6 y - 1.
10.	z = xy - x ² - y ² - x - y.
11.	z = x ² + y ² + x + y - xy.
12.	z = x ² + y ² - 2 x - 2 y.
13.	z = x ² + y ² + xy - 3 x - 6 y.
14.	z = (x - 5)² + y ² + 1;
15.	z = x ² + xy + y ² - 6 x - 1;
16.	z = x ² - xy + y ² - 9 x.
17.	z = 6(x - y) - 3 x ² - 3 y ²;
18.	z = 2 xy - 3 x ² - 2 y ² + 10;
19.	z = xy -3 x ² + 2 y ² + 10;
20.	z = x ³ + 3 xy ² - 15 x + 12 y.
21.	z = (x - 2)² + 2 y ² - 10.
22.	z = x ² + xy + y ² + x - y + 1.
23.	z = xy - x ² - y ² + 9.
24.	z = x ² + xy + y ² - 6 x - 9 y.
25.	z = x ² + y ² - xy + x + y;
26.	z= 4(x - 1)² + 5 y ² + 3;
27.	z = x ² + xy + y ² - 2 x - y.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 6. Знайти найбільше та найменше значення функції в області

1.	z = x ² + 2 xy + 4 x - y ²; D: x = 0, y = 0, x + y + 2 = 0.
2.
3.	z = 4(y - x) - x ² - y ²; D: x + 2 y = 4, x - 2 y = 4, x = 0.
4.	z = xy - x - 2 y; D: x = 3, y = x, y = 0.
5.	z = x ² + 2 xy - 4 x + 8 y; D: y = x - 1, x = -3, y = 0.
6.
7.	z = x ² + y ³ - 2 x - 6 y + 8; D: x = 0, y = 0, y = 1- x.
8.	z = y ² + 2 xy - 4 y + 8 x; D: y = 0, x = 3, x - y + 1 = 0.
9.	z = x ² + 2 xy - 10; D: y = 0, y = x ² - 4.
10.	z = 4 x - x ² - 2 xy - 8 y; D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
11.	z = 6 xy - 9 x ² - 9 y ² + 4 x + 4 y; D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
12.	z = 2 x ² y - x ³ y - x ² y ² + x + y; D: x + y = 6, x = 0, y = 0.
13.	z = 3 xy - x ² - 5 y ² + 4; D: x = - 1, y = -1, x = 1, y = 1.
14.	z = 2 x ³ - xy ² + y ²; D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 6.
15.	z = y (4 - x - y); D: x = 0, y = 0, y = 6 - x.
16.	z = 3 y + x - xy; D: y = x, x = 4, y = 0.
17.	z = 3 x ² + 3 y ² - 2 x - 2 y + 2; D: x = 0, y = 0, x + y -1 = 0.
18.	z = x ² - 2 xy - y ² + 4 x + 1; D: x = -3, y = 0, x + y + 1 = 0.
19.	z = 4 y - y ² - 2 xy - 8 x; D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
20.	z = xy -2 x - y; D: x = 0, x = 3, y = 0, y = 4.
21.	z = 5 + x + y - 3 x ² - 3 y ²; D: x = 2, y = 0, x - y + 1 = 0.
22.	z = xy - 3 x - 2 y; D: x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.
23.	z = x ² + y ³ - 2 x - 3 y + 8; D: x = 0, y = 0, x + y - 3 = 0.
24.	z = x ² - 2 y ² + 4 xy - 6 x - 1; D: x = 0, y = 0, x + y - 1 = 0.
25.	z = 3 x + y - xy; D: x = -1, x = 2, y = 0, y = 1.
26.	z = xy ² (x - 4 + y); D: x = 0, y = 0, x + y = 6.
27.	z = 4(x - 2)² + 2 y ² - 3; D: x = 0, y = 0, x = 3 + y.
28.	z = x ² + y ² + xy - 3 x - 6 y; D: x = -1, x = 2, y = 1, y = 3.
29.
30.	z = 2(x + y) - x ² - y ²; D: x = -1, y = -1, x + y = 0.

Задача 7. Знайти умовний екстремум функції , якщо . Параметри наведені в таблиці з номерами варіантів.

№ варіанта
	-1
	-3	-7
		-1
	-2
	-12
	-3	-2
		-9
	-4	-3
	-5
		-4
	-8
		-4
		-5
	-7	-4
	-5	-9
		-1
	-1	-9
		-9

Задача 8. Методом найменших квадратів знайти функцію яка наближує експериментальні данні.