Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на

где знак выбирается из условия m С <0, то получим уравнение

ах + bу - р = 0, (8.11)

где коэффициенты имеют следующий геометрический смысл: а = cos a,

b = sin a, a - угол между нормалью к прямой и осью Ох, р - расстояние от прямой до начала координат. Уравнение (8.11) называется нормальным уравнением прямой.

Пример. Найдем расстояние от начала координат до прямой

12 х - 5 у -65 = 0.

Приведем уравнение прямой к нормальному виду, домножив его на

m = где знак “плюс” выбран так, как С = -65. Тогда имеем (12/13) х - (5/13) у - 5 = 0, следовательно, нужное нам расстояние равно р = 5.

Расстояние от точки (х ₀, у ₀) до прямой (8.1) вычисляется по формуле:

d = (8.12)

Пример. Определим расстояние от точки (1, 2) до прямой

20 х -21 у -58 = 0.

Из формулы (8.12) получаем

d = .

Если прямые А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0 пересекаются, то их точку пересечения можно найти, решая систему:

.

Пример. Покажем, что прямые 3 х - 2 у + 1= 0 и 2 х + 5 у -12 = 0 пересекаются, и найдем точку пересечения.

Составим систему и решим ее. Полученная точка и является точкой пересечения:

Итак, (1,2)- искомая точка пересечения прямых.