Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задание линейного оператора. Пусть Vn и Vm - векторные пространства размерности соответственно n и m
Пусть Vn и Vm - векторные пространства размерности соответственно n и m. Оператором , действующим из Vn в Vm, называется отображение вида : Vn → Vm, сопоставляющее каждому некоторый , при этом вектор записываем как () или . Оператор называется линейным (отображением), если для любых векторов и и для любого числа выполняется ( + ) = + (1) ( ) = · (2) Очевидно, что () = , т.к. () = (0· ) = 0· () = . Ниже рассматриваем случай, когда векторное пространство Vn совпадает с V , т.е. V = V . В этом случае линейный оператор называется также линейным преобразованием пространства Vn. Пусть - базис в Vn. Тогда для любого имеем: , причем Поскольку - вектор из Vn, то его можно разложить по базису , то есть .Таким образом, где . (4) Так как левые части (3) и (4) равны, то и равны правые части как векторы, что выполнимо лишь при равенстве соответствующих координат: (5) Равенство (5) имеет более короткую запись: , где ., или можно использовать матричную запись y=А·x, где , , , ; . Матрицу называют матрицей оператора . Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица А в данном базисе. Верно и обратное: каждой матрице n -го порядка соответствует некоторый линейный оператор в Vn. Теорема. Матрица линейного оператора при переходе от старого базиса к новому базису преобразуется по закону: , (6) где С - матрица перехода от старого базиса к новому базису . Доказательство. Пусть в старом базисе , и , тогда в новом базисе , т.е. .
Тогда, сравнивая одноименные координаты вектора , имеем формулы преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к новому базису где - матрица перехода от старого базиса к новому базису, т.е. в матричной записи старые координаты выражаются через новые координаты следующим образом Пусть в старом базисе: y=A·x, где x=C·x´, y=C·y´; тогда имеем: C·y´=A·C·x. Умножив слева на C-1, получаем y´=C-1 ·A·C·x´, т.е. A´=C -1 ·A·C, что и требовалось доказать. Пример. Найти образ вектора линейного оператора в новом базисе . Решение: , тогда . Значит, матрица линейного оператора в новом базисе по (6) . В новом базисе вектор имеет координаты , т.е. . Тогда , окончательно .
|