Задание линейного оператора. Пусть Vn и Vm - векторные пространства размерности соответственно n и m

Пусть V_n и V_m - векторные пространства размерности соответственно n и m.

Оператором , действующим из V_n в V_m, называется отображение вида : V_n → V_m, сопоставляющее каждому некоторый , при этом вектор записываем как () или .

Оператор называется линейным (отображением), если для любых векторов и и для любого числа выполняется

( + ) = + (1)

( ) = · (2)

Очевидно, что () = , т.к. () = (0· ) = 0· () = .

Ниже рассматриваем случай, когда векторное пространство V_n совпадает с V , т.е. V = V . В этом случае линейный оператор называется также линейным преобразованием пространства V_n.

Пусть - базис в V_n. Тогда для любого имеем: , причем

Поскольку - вектор из V_n, то его можно разложить по базису , то есть .Таким образом, где . (4)

Так как левые части (3) и (4) равны, то и равны правые части как векторы, что выполнимо лишь при равенстве соответствующих координат:

(5)

Равенство (5) имеет более короткую запись: , где ., или можно использовать матричную запись y=А·x, где

, , , ; .

Матрицу называют матрицей оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица А в данном базисе. Верно и обратное: каждой матрице n -го порядка соответствует некоторый линейный оператор в V_n.

Теорема. Матрица линейного оператора при переходе от старого базиса к новому базису преобразуется по закону:

, (6)

где С - матрица перехода от старого базиса к новому базису .

Доказательство. Пусть в старом базисе , и , тогда в новом базисе

, т.е. .

Тогда, сравнивая одноименные координаты вектора , имеем формулы преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к новому базису где - матрица перехода от старого базиса к новому базису, т.е. в матричной записи старые координаты выражаются через новые координаты следующим образом

Пусть в старом базисе: y=A·x, где x=C·x´, y=C·y´; тогда имеем: C·y´=A·C·x. Умножив слева на C^-1, получаем y´=C^-1 ·A·C·x´,

т.е. A´=C ^-1 ·A·C, что и требовалось доказать.

Пример. Найти образ вектора линейного оператора в новом базисе .

Решение:

, тогда .

Значит, матрица линейного оператора в новом базисе по (6)

.

В новом базисе вектор имеет координаты , т.е. . Тогда , окончательно .