Парабола. Пусть на плоскости даны прямая d и точка FÏd

Пусть на плоскости даны прямая d и точка F Ï d.

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до точки F (называемой фокусом параболы) равно расстоянию её до прямой d (называемой директрисой параболы). Число r (F, d) = p называется фокальным параметром параболы:

.

Найдем уравнение параболы g в ортонормированном репере R =(O, , ), где О – середина отрезка DF (D – проекция точки F на пря­мую d), а ­­ . Тогда уравнение директрисы d: x + =0, а фокус F имеет координаты: F (, 0).

Рис.33

Если точка М (x, y)Îg (рис.33), то r (М, F) = и r (М, d) = . По определению параболы имеем: = .

Возведя обе части в квадрат, получаем:

y ² = 2 px. (4)

Координаты x, y любой точки М Îg удовлетворяют уравнению (4), верно и обратное, поэтому (4)– каноническое уравнение параболы.

Эксцентриситет параболы .

Если М (x, y) Î g, то М' (x, – y) Î g, т.е. прямая (OF) является осью симметрии параболы. Точка О пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

В репере R = (O, , ) общее уравнение линии второго порядка имеет вид:

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ xy + a ₂₂ y ² + 2 a ₁₀ x + 2 a ₂₀ y + a ₀₀ = 0. (5)

Коэффициенты этого уравнения – любые действительные числа, причем а ₁₁, а ₁₂, а ₂₂ не равны нулю одновременно.

В теории линий второго порядка доказывается, что всегда можно перейти к новой системе координат, в которой уравнение (5) будет иметь один из канонических видов, представленных в следующей таблице:

Название линии	Каноническое уравнение	D	Ранг лин.	Дейст. точки
1. Эллипс		D > 0		¥
2. Мнимый эллипс		D > 0
3. Гипербола		D < 0		¥
4. Пара пересекающихся прямых		D < 0		¥
5. Пара мнимых пересекающихся прямых		D > 0
6. Парабола	y 2 = 2 px	D = 0		¥
7. Пара параллельных прямых	y 2 - a 2 = 0	D = 0		¥
8. Пара мнимых параллельных прямых	y 2 + a 2 = 0	D = 0
9. Пара совпавших прямых	y 2 = 0	D = 0		¥

где D = , R = ранг .