Линии второго порядка

Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в виде

F (x, y) = 0, (1)

где F (x, y) – многочлен от переменных х, у, т.е. сумма конечного множества членов вида ax^sy^t (a Î R, s, t – целые неотрицательные числа). Степенью члена ax^sy^t называется число s + t. Степенью многочлена F (x, y) называется наивысшая степень его членов. Степень многочлена F (x, y) называется порядком линии, определяемой уравнением (1).

Примером алгебраической линии первого порядка является прямая, а примером линии второго порядка – окружность, задаваемая уравнением .

Приведем определения и канонические уравнения линий второго порядка на плоскости.

Эллипс

Возьмём на плоскости точки F ₁и F ₂ и отрезок [ PQ ]> F ₁ F ₂], | PQ |= 2 a.

Эллипсом называется множество g всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами эллипса, равна длине данного отрезка [ PQ ]:

.

Рис.30

Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием. Если М Îg, то отрезки [ F 1 M ] и [ F 2 M ] называются фокальными радиусами точки М, их длины также называют фокальными радиусами точки М (рис.30). Если F 1 F 2 = 2 c, то a > c.

Из определения эллипса следует, что если точки F₁ и F₂ совпадают, то эллипс является окружностью радиуса а. Найдём уравнение эллипса в ортонормированном репере R = (O, , ), где О – середина [ F ₁ F ₂] и ­­ . В выбранной системе координат фокусы F ₁ и F ₂ эллипса имеют координаты: F ₁(c, 0), F ₂(– c, 0), поэтому фокальные радиусы произвольной точки М (х, y) эллипса равны:

r ₁ = F ₁ M = , r ₂ = F ₂ M = .

По определению эллипса: r ₁ + r ₂ = 2 а, поэтому

+ = 2 а.

Преобразуем это уравнение так:

= 2 а – .

Возведя его дважды в квадрат и приводя подобные члены, получим:

(а ² – с ²) х ² + а ² y ² = а ² (а ² – с ²), где а ² – с ² > 0; обозначив

а ² – с ² = b ², получаем, .(2)

Таким образом, координаты x, y любой точки М Îg удовлетворяют уравнению (2), верно и обратное. Уравнение (2) – каноническое уравнение эллипса.

Если М (x, y) Î g, то M ₁(x, – y) Î g, M ₂(– x, y) Î g, M ₃(– x, – y) Î g.

Таким образом, эллипс g имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (прямые (Ох), (Оy)) и центр симметрии (точка пересечения осей симметрии). Прямая, проходящая через фокусы, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии (рис.31).

Рис.31

Точки пересечения эллипса его осями симметрии называются вершинами эллипса. А 1(а,0), А 2(- а, 0), В 1(0, b), B 2(0, – b) – вершины эллипса. Эксцентриситетом эллипса g называется число , эксцентриситет эллипса меньше единицы, e<1, т.к. a > c.

Директрисой эллипса (а > b), соответствующей данному фокусу, называется прямая, параллельная второй (малой) оси, отстоящая от центра эллипса на расстоянии и лежащая с данным фокусом по одну сторону от второй оси эллипса.