Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение (вычитание) комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Рассмотрим умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пусть и .

Тогда

. (1)

Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое количество сомножителей. В частности, если есть n множителей и все они равны, то

. (2)

Формула (2) называется формулой Муавра: при возведении комплексного числа в степень n модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти .

Решение: Заданное число в тригонометрической форме имеет вид: , тогда

.

Деление комплексного числа в тригонометрической форме.

Пусть и .

. (3)

Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.

Извлечение корня из комплексного числа.

Корнем n -й степени из комплексного числа называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .

Если , то

и , т.е. и , где .

Итак , (4)

где .

Таким образом, получим n различных значений корня. При других значениях , в силу периодичности косинуса и синуса, получаются значения корня, совпадающие с ранее учтенными.

Пример. Вычислить а) ; б) .

Решение: а) , тогда, используя (4), имеем:

, . Откуда

1) ,

2) .

Таким образом, .

б) применим алгебраический метод нахождения квадратного корня: откуда

Таким образом, .