Высказывания и кванторы

В математике обычно используются предложения, которые содержат определенные утверждения с использованием некоторой переменной (переменных): например, «натуральное число x, такое, что 2x-3x² >0» и др. Истинность таких предложений зависит от значения переменной (переменных). Такие предложения называются неопределенными высказываниями (предикатами), их обозначают символами и т.д.

Придавая переменным различные значения из указанного множества, получаем из неопределенных высказываний различные высказывания: истинные, ложные.

Множеством истинности неопределенного высказывания называется множество всех значений x, при которых предикат обращается в истинное высказывание.

Два неопределенных высказывания, заданные на одном и том же множестве, называются равносильными, если множества их истинности совпадают.

Из неопределенного высказывания можно получить высказывания и другим способом – с использованием кванторов.

Кванторы – это логические операции. Наиболее употребительны два квантора: квантор общности (читают: для всех, для любых) и квантор существования (читают: существует, для некоторого). Кванторы , определяют множество истинности неопределенного высказывания. Например, если некоторое неопределенное высказывание верно при любом значении х из множества М, то пишут: . Если же высказывание истинно хотя бы для одного элемента х из множества М, то применяют квантор существования , записывают так: .

Применение кванторов к неопределенным высказываниям иногда называют «навешиванием кванторов». Навешивание кванторов на неопределенные высказывания может обращать их как в истинные, так и в ложные высказывания.

В математике часто из одних утверждений получают другие утверждения с использованием следующих логических операций (при этом условимся истинность утверждения обозначать значением 1, а ложность - значением 0):

1.Операция отрицания

Отрицанием утверждения A называется утверждение, обозначаемое , которое истинно, если A-ложно, и наоборот, т.е.

A

2.Операция дизъюнкции

Дизъюнкцией утверждений A и B называется утверждение, обозначаемое A B, которое истинно, если истинно хотя бы одно из утверждений A или B, т.е.

A	B	A B

3.Операция конъюнкции

Конъюнкцией утверждений A и B называется утверждение, обозначаемое A B, которое истинно, если истинны оба утверждения, и ложно в противном случае

A	B	A B

4.Операция импликации („если А, то В”) A→B

Импликацией от утверждения A к утверждению B называется утверждение, которое ложно лишь тогда, когда A – истинно и B –ложно, т.е.

Высказывание А называется посылкой высказывания В, а высказывание В– его заключением.

5.Операция эквиваленции

Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание, которое истинно лишь тогда, когда A и B истинны или ложны одновременно, т.е.

Имеется следующий порядок действий операций по старшинству: ↔, →, , , −.

Кванторы, неопределенные высказывания и логические операции наиболее часто могут быть использованы в формулировке теорем, например, в таком виде: для каждого элемента х множества М из следует . Кратко такую теорему принято записывать так:

,

где называется условием теоремы на М, – заключением теоремы.

Например. Если действительное число кратно 4, то оно четно. Здесь М – множество всех действительных чисел, условие теоремы – «кратно 4», заключение – «оно четно».

Утверждения и называются взаимно обратными. Одно из них можно назвать прямым утверждением, тогда другое называют обратным.

Заметим, что для взаимно обратных утверждений могут быть следующие ситуации:

– оба утверждения верны или оба утверждения неверны,

– одно утверждение может быть верное, а другое неверное.

Пусть дана некоторая теорема , тогда условие теоремы называют достаточным условием для заключения , а заключение теоремы называют необходимым условием для .

Если справедлива не только прямая, но и обратная теорема, то является необходимым и достаточным условием для , а является необходимым и достаточным условием для , при этом доказательство теоремы должно состоять из доказательства необходимости и доказательства достаточности.

Например, подобная сказанному теорема: для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам.

Или, по-другому: четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали делятся точкой пересечения пополам.