Властивості

Норма векторів

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

Властивості

· Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто .

· Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).

· Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.

· В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A ^*, для якого виконується рівність: для довільних x, y.

Визначник Грамма

Оскільки Базис не ортонормований

Визначник матриці Gramma називається Визначник Gramma

ТЕОРЕМА

Визначник грама завжди > або = 0 Причому = 0 коли вектори

e₁ …e_n-Лінійно-залежні

Оскільки визначник грама для Базис вектора то він завжди > 0

Приклад

Визначник грама

Розглянемо

Теорема 1

Визначник грама для 2 векторної площини = квадрату паралелограма побудованого на цих векторах

Аналогічно в інших вимірах зі зміною розмірності матриці