Действия над матрицами

Определение. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица того же размера такая, что

(1.10)

Пример 14. Найти сумму матриц А и В, если

Решение.

Для любых матриц А, В и С одинакового размера справедливы следующие свойства:

1.

2.

3. .

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что

(1.11)

Пример 15. , . Найти .

Решение.

Матрица называется противоположной матрице А.

Для любых матриц А и В одинакового размера и любых действительных чисел справедливы следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

5. .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Оределение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

, (1.12)

где , .

Формулу (1.12) для нахождения элемента полезно помнить в виде правила:

в матрице А выделяем -ю строку, в матрице B выделяем -й столбец.

Тогда для того, чтобы получить элемент матрицы С, расположенный на пересечении i-й строки и k -го столбца, надо каждый элемент i -й строки матрицы A умножить на соответствующий элемент k -го столбца матрицы В и все полученные произведения сложить.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Пример 16. Найти произведение матриц А и В, если .

Решение. Для получения первой строки новой матрицы фиксируем в матрице А первую строку (2 0), а в матрице В выделяем поочередно первый, второй и третий столбцы: .

Элемент находим как сумму произведений элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В по правилу: “произведение первого элемента строки на первый элемент столбца плюс произведение второго элемента строки на второй элемент столбца.”

Пользуясь этим правилом, находим:

Для вычисления элементов , , фиксируем вторую строку матрицы А (-1 3) и умножаем её поочередно на первый, второй и третий столбцы матрицы В:

Пример 17. Даны матрицы

Найти АВ, ВА.

Решение. Произведение АВ не определено, так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В( 2). Произведение ВА определено, так как число столбцов матрицы В(2) совпадает с числом строк матрицы А(2).

Используя правило, рассмотренное в предыдущем примере, найдем произведение ВА:

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

если указанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

6. Если А квадратная матрица n-го порядка, Е -единичная матрица того же порядка, то АЕ=ЕА=А.

7. Для операции транспонирования верны следующие равенства:

Пример 18. Даны матрицы

Проверить справедливость равенства 5.

Решение. Найдем произведение АВ:

Таким образом,

Пример 19. Даны матрицы

Показать, что

Решение. Найдем произведение матриц АВ:

Найдем

Получим

Пример 20. Даны две матрицы

Найти АВ.

Решение.

Пример 21. Найти значение матричного многочлена если , Е - единичная матрица третьего порядка.

Решение. . Найдем :

= ,

Пример 22. Найти произведение матриц АВС, если оно определено, где

Решение. Рассмотрим матрицы А и В. Размер матрицы А , матрицы В - . Так как число столбцов матрицы А(3) равно числу строк матрицы В(3), то произведение определено, в результате получим матрицу размера .

Число столбцов матрицы (1) совпадает с числом строк матрицы С(1), таким образом произведение определено, получаемая матрица будет размера .

Найдем произведение :

Найдем произведение :