Пример 1

Схема конструкции приведена на рис. 1.4.

Дано: кН, кН, кН∙м, кН/м.

Определить: реакции опор и , усилия во внутренних двусторонних связях (шарнирах и ) и в односторонних связях ( и ).

Решение:

Так как из условия задачи не известно, в какой из односторонних связей или возникает реакция, необходимо рассмотреть оба случая.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Таблица 2. Нагрузка конструкций

Номер варианта	, кН	, кН	, кН∙м	, кН/м	Примечания
				1,5	и – нити
					и – нити
				1,2
					и – нити
				1,5
					и – нити
				1,8	– нить
				1,4
				2,2
				1,5
				1,8
				1,2
				2,8
					и – нити
				2,5	– нить
				1,8
					и – нити
					– нить
				1,6
				1,6
				2,5
				1,9
					и – нити
				1,7	и – нити

1) Пусть «не работает» связь , то есть (рис. 1.5). В этом случае элементы конструкции и прижаты друг к другу и направление реакции будет таким, как показано на рис. 1.6.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Рассмотрим силы, действующие на часть конструкции (рис. 1.6).

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Уравнения равновесия этой системы сил имеют вид:

: ; (1.1)

: ; (1.2)

: . (1.3)

Рассмотрев равновесие элемента (рис. 1.7), составим условия равновесия действующих на него сил, при этом учтем аксиому о равенстве сил действия и противодействия в шарнирах:

: ; (1.4)

: ; (1.5)

: . (1.6)

Рассмотрим условия равновесия сил, приложенных к участку , (рис. 1.8):

: ; (1.7)

: ; (1.8)

: , (1.9)

где кН – сосредоточенная сила, приложенная к середине участка , эквивалентная распределенной по этому участку нагрузке интенсивности .

Представим систему уравнений (1.1) – (1.9) в виде:

(1.10)

Система линейных алгебраических уравнений (1.10) определяет истинные значения всех искомых величин лишь при условии, что ее корень .

1) Пусть «не работает» связь , то есть (рис. 1.9). В этом случае элементы конструкции и прижаты друг к другу и направление реакции будет таким, как показано на рис. 1.10 и 1.11, причем .

Рассмотрим силы, действующие на часть конструкции (рис. 1.12).

Рис. 1.10 Рис. 1.1

Уравнения равновесия этой системы сил имеют вид:

:

;(1.11)

:

; (1.12)

: . (1.13)

Рассмотрев равновесие элемента (рис. 1.10), составим условия равновесия действующих на него сил:

: ; (1.14)

: ; (1.15)

: . (1.16)

Рассмотрим условия равновесия сил, приложенных к участку (рис. 1.11):

: ; (1.17)

: ; (1.18)

: , (1.19)

Представим систему уравнений (1.11) – (1.19) в виде:

(1.20)

Система линейных алгебраических уравнений (1.20) определяет истинные значения всех искомых величин лишь при условии, что ее корень .

Подставим в системы уравнений (1.10) и (1.20) значения величин , , и и перепишем системы в матричной форме:

; (1.21)

. (1.22)

Здесь

;

;

; ; .

Системы (1.21) и (1.22) должны решаться совместно с неравенствами-ключами, выбирающими систему уравнений равновесия. Если в процессе решения системы (1.21) оказывается, что , то уравнениями равновесия составной конструкции являются уравнения (1.21). В противном случае, при , значит , и уравнениями равновесия составной конструкции являются уравнения (1.22).

Для численного решения подобных задач с помощью ЭВМ существует множество приближенных методов вычисления (см. приложения Д – З). Блок-схема программы решения систем (1.21) и (1.22) приведена на рис.1.13.

Результаты расчета приведены в табл. 3.

Рис. 1.13

Таблица 3. Результаты решения примера 1

Силы, кН
9,949	11,023	1,867	-6,023	5,793	-11,023	-1,86	-11,023	5,082

Как следует из расчета, реакция положительна. Это значит, что при данной схеме нагружения конструкции «работает» связь , а в связи усилие не возникает.

Проверим правильность расчетов по уравнениям равновесия сил, действующих на конструкцию в целом:

;

Решение верно.

Ответ:

кН, кН, кН, кН, кН, кН, кН, кН, кН.